ТЕРМІНОВО (хоча б одне)
1. Точка D не лежить у площині трикутника ABC. Точки K, P, T — середини відрізків AD, BD, CD відповідно, причому ∠DAB + ∠AKP = 180°, ∠DAC + ∠AKT = 180°. Доведіть, що площини ABC і KPTпаралельнi
2. Паралелограм ABCD є зображенням квадрата A1B1C1D1. На стороні A1B1 квадрата позначено точку Р1. Побудуйте зображення перпендикулярної прямої, проведеної з точки P до прямої B1D1.

Обозначим диагональ равнобокой трапеции за d (диагонали равны). Тогда площадь можно выразить через диагонали и угол между ними - S=1/2*d²*sin(a), где sin(a) - синус угла между диагоналями. Мы знаем, что 1/2*d²*sin(a)=1, d²*sin(a)=2. Значение d будет наименьшим в случае, если значение sina наибольшее. Оно наибольшее, когда a=90 градусам, то есть, когда диагонали пересекаются под прямым углом. В этом случае sin(a)=1, d²=2, d=√2. Таким образом, наименьшее значение диагонали равнобокой трапеции с площадью 1м² - √2м.

ΔАВК: ∠К = 90°, ∠А = 30°, ⇒ АВ = 2ВК = 2 см
             по теореме Пифагора АК = √(АВ² - ВК²) = √(4 - 1) = √3 см
Проведем высоту СН.
СН = ВК как высоты одной трапеции, СН ║ ВК как перпендикуляры к одной прямой, значит, КВСН - прямоугольник.
КН = ВС = 2√3 см

ΔАВК = ΔDCH по гипотенузе и катету (AB = CD так трапеция равнобедренная и СН = ВК), значит
AK = HD = 2√3 см
KD = KH + HD = 3√3 см
Проведем МР⊥AD. МР - средняя линия треугольника KBD,
МР = ВК/2 = 0,5 см

Skmd = 1/2 · KD · MP = 0,5 · 3√3 · 0,5 = 3√3/4 см²