Тест «метод координат»
i вариант
1. если векторы ав и cd коллинеарны, то:
а) ав = cd; б) ав = k ∙ cd; в) | ав | = | cd |.
2. если a = 5 j – 3 i, то:
а) а {5; - 3}; б) а {5; 3}; в) а {- 3; 5}.
3. если а (2; - 5), в (- 4; - 2), то:
а) ав {- 6; 3}; б) ав {6; - 3}; в) ав {- 2; - 7}.
4. если х {3; - 6}, у {- 2; 4}, с = - 1/3 х + ½ у, то:
а) с {2; - 4}; б) с {1; 1}; в) с {- 2; 4}.
5. если х {2; - 5}, у {1; 2,5}, z {- ½; 5/4}, то коллинеарны векторы:
а) х и у; б) х и z; в) у и z.
6. если ам – медиана треугольника авс, в (2; - 5), с (- 6; 3), то:
а) м (- 2; - 1); б) м (4; - 4); в) м (- 4; 4).
7. если а = - 3 i + 4 j, то:
а) | а | = 1; б) | а | = 5; в) | а | = √ 7.
8. в треугольнике авс а ( - 2; 2), в (2; 6), с (4; - 2). если вм – медиана, то:
а) вм = √37; б) вм = √45; в) вм = √35.
9. если точки с (- 2; 1) и d (6; 5) – концы диаметра окружности, то уравнение данной
окружности имеет вид:
а) (х + 2)2 + (y + 3)2 = √20; б) (х – 4)2 + (y – 3)2 = 12; в) (х – 2)2 + (y – 3)2 = 20.
10. уравнение прямой, проходящей через точки а (- 1; 1) и в (2; 7), имеет вид:
а) х – 2у + 3 = 0; б) 2х – у + 3 = 0; в) 2х + у – 3 = 0.
2. Чтобы найти вектор а, нужно знать его координаты. В данном случае, а = 5j - 3i. Поэтому правильным ответом будет в) а {-3; 5}.
3. Вектор ав можно найти, вычитая координаты точек а и в: ав = в - а = (-4; -2) - (2; -5) = (-4 - 2; -2 - (-5)) = (-6; 3). Правильным ответом будет а) ав {-6; 3}.
4. Выразим вектор с через векторы х и у с помощью линейной комбинации: с = -1/3 * х + 1/2 * у = -1/3 * (3; -6) + 1/2 * (-2; 4) = (1; 2) + (-1; 2) = (0; 4). Правильным ответом будет а) с {2; -4}.
5. Проверим, являются ли векторы х и у коллинеарными, вычислив их отношение: х/у = (2; -5)/(1; 2.5) = (2/1; -5/2.5) = (2; -2). Правильным ответом будет а) х и у.
6. Медиана треугольника - это вектор, проведенный из вершины к середине противоположной стороны. Для вычисления вектора медианы ам, найдем точку м, которая будет являться серединой стороны ав. Для этого найдем среднее значение координат x и y: x_m = (2 - 6)/2 = -2 и y_m = (-5 + 3)/2 = -1. Таким образом, точка м будет иметь координаты (-2; -1). Вектор ам = м - а = (-2; -1) - (2; -5) = (-4; 4). Правильным ответом будет в) м (-4; 4).
7. Длина вектора а может быть найдена по формуле |а| = √(x^2 + y^2). Подставим значения x и y из вектора а = -3i + 4j: |а| = √((-3)^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5. Правильным ответом будет б) |а| = 5.
8. Для нахождения длины медианы воспользуемся формулой: |вм| = √((x1 + x2 + x3)/3)^2 + ((y1 + y2 + y3)/3)^2), где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника. Подставим значения координат: |вм| = √((-2 + 2 + 4)/3)^2 + ((2 + 6 - 2)/3)^2) = √(4/3)^2 + 2^2 = √(16/9 + 4) = √(16/9 + 36/9) = √(52/9) = √(52)/√(9) = √(52)/3. Правильным ответом будет а) |вм| = √37.
9. Уравнение окружности можно записать в виде (x - х_ц)^2 + (y - у_ц)^2 = r^2, где (х_ц, у_ц) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Центр окружности будет равен середине отрезка, соединяющего точки с и d: х_ц = (-2 + 6)/2 = 2 и у_ц = (1 + 5)/2 = 3. Радиус окружности можно найти по формуле r = 1/2 * √((x_ц - x_к)^2 + (y_ц - y_к)^2), где (x_к, y_к) - координаты конца диаметра окружности, в данном случае (6, 5). Подставим значения в формулу: r = 1/2 * √((2 - 6)^2 + (3 - 5)^2) = 1/2 * √((-4)^2 + (-2)^2) = 1/2 * √(16 + 4) = 1/2 * √20 = √5. Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид (х - 2)^2 + (y - 3)^2 = (√5)^2 = 5. Правильным ответом будет a) (х + 2)^2 + (y + 3)^2 = √20.
10. Уравнение прямой можно найти, используя формулу (y - y_1) = k(x - x_1), где (x_1, y_1) - координаты точки, через которую проходит прямая, а k - угловой коэффициент прямой, который можно найти, разделив разность y-координат на разность x-координат двух точек, лежащих на прямой. В данном случае, (x_1, y_1) = (-1, 1) и (x_2, y_2) = (2, 7). Найдем угловой коэффициент: k = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (7 - 1)/(2 - (-1)) = 6/3 = 2. Теперь можем записать уравнение прямой: (y - 1) = 2(x - (-1)) = 2(x + 1). Правильным ответом будет а) х - 2у + 3 = 0.