The diagram illustrates a right circular cone-shaped mountain.

If you build a shortest distance track for a siteseeing train around the mountain, in which the track starts at point A and ends up at point B, the track will first go uphill, but then it will go downhill.

What is the length of the downhill track?

There are four answer choices:

200/√19
300/√30
300/√91
400/√91
только без решений с интернета

Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:

а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.

б) уравнение медианы BM.  

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).

Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).

Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.

Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).

в) cos угла BCA.  

Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.

Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.

cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.

г) уравнение высоты CD.

Находим уравнение стороны АВ.

Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).

Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).

Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.

0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.  

Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).

д) длина высоты СD.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2

Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:  

2х – 5у + 9 = 0.

d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =

= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.

е) площадь треугольника АВС по векторам.

Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:

S= ± (1 /2) *(x1−x3       y1−y3 )

                       (x2−x3      y2−y3 )  

       

 x1−x3       y1−y3  

        x2−x3      y2−y3    

A(−2,1), B(3,3), С(1,0).

S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.  

Для этого надо составить уравнения сторон в виде у = кх + в.
У параллельных прямых коэффициенты "к" равны.
Сторона АВ:
Уравнение прямой:
Будем искать уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-6)) / (4 - (2)) = 4;
b = yB - k · xB = 2 - (4) · (4) = yA - k · xA = -6 - (4) · (2) = -14 .
Искомое уравнение: y = 4 · x  - 14 .

Сторона ВС:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (5 - (2)) / (-2 - (4)) = -0.5;
b = yB - k · xB = 5 - (-0.5) · (-2) = yA - k · xA = 2 - (-0.5) · (4) = 4 .
Искомое уравнение: y = -0.5 · x + 4 .

Сторона СД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (5)) / (-3 - (-2)) = 4;
b = yB - k · xB = 1 - (4) · (-3) = yA - k · xA = 5 - (4) · (-2) = 13 .
Искомое уравнение: y = 4 · x + 13 .

Сторона АД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (-6)) / (-3 - (2)) = -1.4;
b = yB - k · xB = 1 - (-1.4) · (-3) = yA - k · xA = -6 - (-1.4) · (2) = -3.2 .
Искомое уравнение: y = -1.4 · x  - 3.2 .

Уравнения сторон АВ и СД имеют одинаковые коэффициенты "к", поэтому заданный четырёхугольник - трапеция.