В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
oksanka199800
oksanka199800
07.05.2021 13:59 •  Геометрия

Точка а(2; 0) является вершиной квадрата, диагональ bd которого лежит на прямой l: 2x-3y+6=0. составить уравнение второй диагонали и сторон квадрата.

Показать ответ
Ответ:
Дани4ка14
Дани4ка14
07.10.2020 07:57
Две прямые, заданные уравнениями y_1=k_1x+b_1 и y_2=k_2x+b_2 , будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда k_1\cdot k_2=-1 . Коэффициенты k_1 и k_2 называются угловыми коэффициентами.
Мы имеем диагональ BD , которая лежит на прямой 2x-3y+6=0 . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид:
2x-3y+6=0 \\ 3y=2x+6 \\ y= \dfrac{2}{3} x+2 .
Здесь угловой коэффициент равен k_1= \dfrac{2}{3}
Пусть диагональ AC лежит на прямой y_2=k_2x+b_2 .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, \dfrac{2}{3} \cdot k_2=-1 , откуда k_2= -\dfrac{3}{2} . Т.е диагональ AC лежит на прямой y_2=- \dfrac{3}{2} x+b_2 . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку A(2;0) . Исходя из этого составим уравнение:0=- \dfrac{3}{2} \cdot2+b_2 , откуда b_2=3 . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ AC - это прямая y=- \dfrac{3}{2} x+3 или, что то же самое, 2y+3x-6=0 .

Теперь к уравнениям сторон.

Две прямые, заданные уравнениями y_1=k_1x+b_1 и y_2=k_2x+b_2 , пересекаются под углом \alpha, тангенс которого равен \tan \alpha = \dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2} . Причём при 1+k_1\cdot k_2=0 они перпендикулярны.
Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен 45^\circ . Пусть сторона AB лежит на прямой y_3=k_3x+b_3. Получается, нам нужно, чтобы прямая AC при пересечении с прямой y_3=k_3x+b_3 образовывала угол в 45^\circ. (А сторона AC лежит на прямой y=- \dfrac{3}{2} x+3 .)
Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:
\tan 45^\circ= \dfrac{-\frac{3}{2}-k_3 }{1-k_3\cdot \frac{3}{2} } \\ 1 = \dfrac{-\frac{3}{2}-k_3 }{1-k_3\cdot \frac{3}{2} } \\ -\dfrac{3}{2}-k_3 =1-k_3\cdot \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{5}{2} k_3= \dfrac{1}{2} \\ k_3=5
Мы получили, что сторона AB лежит на прямой y_3=5x+b_3 . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку A(2;0) . Получаем, что 0=5\cdot2+b_3 , откуда b_3=-10 . Значит, сторона AB лежит на прямой y=5x-10 .

Найдём координаты вершины B - это точка пересечения диагонали AB и стороны BD :
\dfrac{2}{3} x+2=5x-10 \\ 12= \dfrac{13}{3} x \\ x= \dfrac{36}{13} \\ y= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{36}{13} +2= \dfrac{50}{13}
Получили координаты вершины B(\dfrac{36}{13} ; \dfrac{50}{13}) .

Пусть прямая, на которой лежит сторона CB, имеет вид y_4=k_4x+b_4. Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона BA . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона CB :
k_4\cdot5=-1 \\ k_4=- \dfrac{1}{5} \ ; \\ \dfrac{50}{13}= - \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{36}{13}+b_4 \\ b_4= \dfrac{2}{5}
Получили, что сторона CB лежит на прямой y=- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{22}{5}.

BC параллельна AD, отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона AD
0=- \dfrac{1}{5} \cdot2+b_5 \\ b_5= \dfrac{2}{5}
Получили уравнение ADy=- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{2}{5} .

Найдём координаты точки C :
- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{22}{5} =- \dfrac{3}{2} x+3 \\ \dfrac{13}{10} x= -\dfrac{7}{5} \\ x= -\dfrac{14}{13} \\ y=- \dfrac{3}{2} \cdot (-\dfrac{14}{13}) +3= \dfrac{60}{13}.

CD параллельна AB, отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD:
\dfrac{60}{13}=5\cdot (-\dfrac{14}{13})+b_5 \\ b_5=10
Получили, что сторона CD лежит на прямой y=5x+10 .

Точка а(2; 0) является вершиной квадрата, диагональ bd которого лежит на прямой l: 2x-3y+6=0. состав
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Геометрия
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота