Точки А (3; 1; 8), В (4; 7; 1), С(3; 5; -8) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини D.

a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)

KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.

SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.

LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH

Рассмотрим плоскость AST.

LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).

AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.

AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.

Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.

ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH

То есть плоскость делит высоту пополам.

б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.

ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит AL:AS=LU:ST=6:5.

HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1

SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.

ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.

Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5

ответ: 87,5.

5. На рисунке прямые CD и EF параллельны сторонам треугольника ABC. Найдите углы треугольника CED, если ∠A = 72°, ∠B = 26°

Рассмотрим ΔABC

∠C = 180 - ∠A - ∠B = 180 - 72 - 26 = 82° (сумма углов треугольника равна 180°)

Рассмотрим четырехугольник AFEC

∠F = 180 - ∠A = 180 - 72 = 108° (односторонние при FD || AC и секущей AB)

∠E = 180 - ∠C = 180 - 82 = 98° (односторонние при FD || AC  секущей BC)

∠CED = 180 - ∠FEC = 180 - 98 = 82° (смежные)

Рассмотрим четырехугольник AEDC

FD || AC (по условию)

AF || CD (по условию)

==> четырехугольник AEDC - параллелограмм

∠A = ∠D = 72° (в параллелограмме противоположные углы равны)

Рассмотрим ΔCED: ∠E = 82°, ∠D = 72°, ∠C - ?

∠C = 180 - ∠E - ∠D = 180 - 82 - 72 = 26° (сумма углов треугольника равна 180°)

ответ: ∠E = 82°, ∠D = 72°, ∠C = 26°

6. На рисунке треугольники ABC и DEF - прямоугольные, AB = DF, BC = DE. Докажите, что прямые AB и DF параллельны.

Рассмотрим ΔDEB и ΔBCA - прямоугольные

AB = DF (по условию)

BC = DE (по условию)

==> ΔDEB = ΔBCA по гипотенузе и катету ==> ∠F = ∠A - накрест лежащие для прямых DF и AB и их секущей AF

При параллельных прямых и их секущей накрест лежащие углы равны

==> DF || AB

Ч. т. д.