Точки A,B,C і D поділяють коло на 4 дуги так,що дуги AB,BC,CD,AD=3:5:7:9.Знайдіть кути чотирикутника ABCD.​

Возможны два случая:
1. Точки А и D расположены по одну сторону от прямой ВС.
Тогда ∠АВС и ∠BCD - внутренние односторонние, их сумма равна 180°.
А если сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то эти прямые параллельны.
Поэтому АВ║CD.

2. Точки А и D расположены по разные стороны от прямой ВС.
Тогда ∠АВС и ∠BCD - внутренние накрест лежащие, и они не равны.
А только если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны, следовательно, в этом случае АВ и CD не параллельны, то есть они пересекаются.

Вписанный квадрат имеет диагонали под углом 45 градусов к диагоналям ромба.

Примем сторону ромба за 1, а сторону вписанного квадрата за х.

Рассмотрим треугольник из половин диагонали ромба и диагонали квадрата. Известна сторона и 2 угла.

Сторона (это половина диагонали ромба) равна 1*cos(60°/2) = 1*(√3/2)  = √3/2. Угол против этой стороны равен 180 - 30 - 45 = 105 градусов.

Половина диагонали квадрата равна х√2/2.

По теореме синусов:

(х√2/2)/sin 30° = (√3/2)/sin 105°.

(х√2/2)/(1/2) = (√3/2)/sin 105°.

Отсюда находим значение стороны вписанного квадрата:

х = √3/(2√2sin 105°) = 0,634.

ответ: соотношение периметров ромба и квадрата равно

Рр/Рк = 4/(4*0,634) = 1,57735.

Можно перейти к радикалам:

sin 105° = sin (180° - 105°) = sin 75° = sin (30° + 45°) = (1/2)*(√2/2) + (√3/2)*(√2/2) = (√2/4)(1 + √3).

Отсюда х = √3/(1 + √3).

Тогда ответ:  Рр/Рк = 4/(4√3/(1 + √3)) = (1 + √3)/√3.