Точки А и В делят окружность с центром О на дуги AMВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги AMВ. AM — диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. обозначим: AM = a,  KD = b. => MBCK - прямоугольник.

=>

1. AD = AM+BC+KD 

a + 5 + b = 10 
a = 5 - b

2. Тр-ки DBM и ACK - пр-ные, так их прямые углы образованы высотами трапеции.

3. Высота трапеции - h. Тогда по теореме Пифагора:

1)h2 + (10 - a)2 = 122

и
2)h2 + (10 - b)2 = 92

Подставим 5-b в первое:

1) h2+(5+b)2=144

h2=144-(5+b)2

2)подставим h2=144-(5+b)2

во второе

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

144 - (5 + b)2 + (10 - b)2= 81 ; далее:

144 - (25 + 10b + b2) + 100 - 20b + b2 - 81=0

119 -1 0b - 20b- 81+100=0

-30b = -138

b= 4,6 = KD

h2=144 - (5 + 4,6)2

h2=51,84

h=7,2

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований 
S=((a + b)h)/2, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции

S=((10 + 5)*7,2)/2

S= 54 см2

Это хоть на задачи похоже.

4. Центры окружностей образуют равнобедренный треугольник со сторонами 

24 + 15 = 39 (это две боковые стороны) и 15 + 15 = 30 (это основание). Высота к основанию легко находится, поскольку вместе с половиной основания 15 и боковой стороной 39 образует прямоугольный треугольник (15, 36, 39) (Пифагорова тройка). Высота равна 36.

Центр "внутренней" окружности расположен на этой высоте, пусть его радиус r. Расстояния от него до вершин (центров остальных окружностей) равны 15 + r, 15 + r, 24 + r. Поэтому расстояние от этого центра до основания (линии центров окружностей радиуса 15) равно 36 - (24 + r) = 12 - r;

Отсюда (15 + r)^2 = 15^2 + (12 - r)^2; 2(15 + 12)r = 12^2; r = 72/27;

5. Если продлить сторону квадрата, из вершины которой выходит касательная, до ВТОРОГО пересечения с окружностью, и обозначить эту хорду х, то 

2^2 = 1(x+1); x = 3; 

в результате имеются две взаимно перпендикулярные хорды длины 1 и 3, ясно, что отрезок, соединяющий их НЕ ОБЩИЕ концы - диаметр, то есть

D^2 = 1^2 + 3^2 = 10; R^2 = 5/2;

2. Если обозначить H - высота трапеции ABCD, h - высота трапеции MNCB, m = MN; a = AD; b = BC; то

(m + b)h = (a + b)H/2;

(m + a)(H - h) = (a + b)H/2; 

(Это все потому, что площади трапеций NMCB и ADMN равны половине площади ABCD) 

Пусть x = h/H; тогда

(m + b)x = (a + b)/2;

(m + a)(1 - x) = (a + b)/2;

Складывая оба уравнения, легко находим

x = (m - b)/(a - b);

m^2 = (a^2 + b^2)/2;

подставляем числа из условия, получаем m = 5;

1. Площадь ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ABMN равна 7*8/2 = 28;

Если обозначить AC = b; BC = a, то

Площадь треугольника АВС равна S = absin(C)/2

Площадь треугольника MNС равна (a/2)b(1-0,4)sin(C)/2 = 3S/10;

Поэтому площадь ABMN равна 7S/10 = 28; откуда S = 40;

3. самая прикольная задачка.

Пусть CD = b; СЕ = a;

Теорема синусов для тр-ка ADC (Ф - угол ВАС)

b/sinФ = AD/sin30 = 2; b = 2sinФ;

Теорема синусов для тр-ка ACE 

a/sinФ = AE/sin120 = 2√3; a = 2√3sinФ;

Треугольник DCE прямоугольный, с гипотенузой DE  =2;

a^2 + b^2 = 4;

Откуда sinФ = 1/2; отсюда сразу следует, что треугольник АСЕ равнобедренный с углом при вершине 120 (при основании - два угла по 30). Но это в решении не пригождается, так как h - высоту АВС, то есть расстояние от С до АВ, проще всего найти из треугольника CDE

ab = 2h; но уже найдены b = 1 и а = √3; поэтому h = √3/2;

площадь АВС равна (√3/2)*(4√3)/2 = 3.