Точки А' і В' - паралельні проекції точок А і В на площину
Пряма АВ перетинає дану площину в точці С. Знайдіть площину відрізка АВ, якщо АА'=18см, ВВ'=12см, АС=27см.

1)

Отрезки OB & OA — проведены с точек, находящихся на окружности — до её центра, тоесть — оба равны радиусу, то есть: OB == OA = r.

Так как <ABO = 40°, то: <ABO == <OAB == 40° ⇒ <OAB = 180-(40+40) = 100°.

<AOB & <BOC — смежные углы, тоесть их сумма равняется 180 градусам, то есть: <BOC == 180° - <AOB = 180-100 = 80°.

Вывод: <BOC = 80°.

2)

MO == OK == ON = r.

MN == NK.

Третий признак равенства треугольников таков: Если 3 стороны треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то — эти треугольники равны.

NO == ON == OK; MN == NK ⇒ ΔMON == ΔNOK.

То есть: против стороны MN — лежит определённый угол, и против стороны NK — лежит угол, равный ему.

Что и означает, что: <MON == <NOK.

3)

AO == OB = r.

То есть: <OAB == <B.

<AOB = 104° ⇒ <OAB = )180-104)/2 = 38°.

Касательная окружности имеет такое свойство, что радиус, проведённый с точки — перпендикулярен этой же касательной, то есть: <OAC = 90°.

<BAC = 90-38 = 52°.

Вывод: <BAC = 52°.

Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать