Треугольник ABC задан координатами вершин в прямоугольной декартовой системе координат.

А(0;-1), В(4;7), С (-4;-3)

Найдите:
1.. уравнения сторон;

2.. уравнение высоты AHa;

3. координаты Ha основания высоты AHa;

4. координаты O центра описанной окружность

1. Дано: Δ АВС, ∠А=74°,∠ В=36°. Найти: ∠ С.

Решение: Т. к. сумма углов треугольника =180°, ∠ С=180°-∠ А-∠В,  следовательно, ∠ С=180-74-36=70°. ответ: 70°

2. Дано: ΔАВС, ∠В=41°, внешний∠ВАД=114°. Найти ∠ВАД, ∠С.

Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника составляет 180°, поэтому ∠ВАД=180-114=66°

∠С=180-(66+41)=73°

ответ: 66°, 73°.

3 Дано: Δ АВС - равнобедренный, ∠ С=38°. Найти: ∠ А,∠В.

Решение: ΔАВС - равнобедренный, следовательно ∠ В=∠С=38° (углы при основании). Известно, что сумма углов треугольника=180°, следовательно ∠ А=180-∠ В-∠С=180-38-38=104°.

ответ: 38°, 104°.

4.  Дано: Δ АВС - равнобедренный, ∠ А=57°. Найти: ∠ В и ∠С.

Решение: Сумма углов треугольника=180°. Т. к. Δ АВС -равнобедренный, то  ∠ В+∠ С=180-57=123°,  ∠ В=∠С=123:2=61.5°

ответ: 61.5°, 61.5°.

5. Найдем коэффициент пропорциональности: 4х+5х+6х=180°;

15х=180;  х=12.

∠1=12*4=48°; ∠2=12*5=60°;  12*6=72°.

6. Пусть угол при вершине равен 14х, тогда углы при основании равны по 3х градусов. Имеем уравнение: 14х+3х+3х=180.

20х=180;  х=9.

∠1=9*14=126°;  ∠2=∠3=9*3=27°.

7. Пусть ∠1=х°, тогда ∠2=3х°,  ∠3=3х+5°. Составим уравнение: х+3х+3х+5=180;  7х=175; х=25.

∠1=25°; ∠2=25*3=75°,  ∠3=75+5=80°.

Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,

           ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,

           ∠АА₁С = φ.

           Цилиндр вписан в призму.

Найти: Объем цилиндра.

Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.

Радиус основания цилиндра - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ВН - высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.

ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.

AH = CH = b·cosα

AC = 2b·cosα

Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.

АО - биссектриса угла А, ОН - радиус вписанной окружности,  ∠ОАН = α/2.

ΔАОН:   ОН = АН · tg(α/2)

              r = b·cosα · tg(α/2)

ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ - высота призмы и цилиндра,

            h = 2b·cosα · ctgφ

Vцил = πr²h

Vцил = π ·  (b·cosα · tg(α/2))² ·  2b·cosα · ctgφ

Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ