Я заранее прощения за это решение, чего-то голова не работает сегодня. Ясно, что 1) треугольник тупоугольный - потому что центр описанной окружности O лежит за пределами треугольника. 2) все симметрично относительно высоты треугольника, проведенной к основанию, и оба центра - K и O, лежат на прямой, содержащей эту высоту (ось симметрии). Далее, фигура AKBO - ромб, так как диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой E (OK по условию, а AB - в силу упомянутой симметрии). В ромбе диагонали - заодно и биссектрисы углов, поэтому ∠KAO = ∠CAB = 2*∠OAB; (я напомню, что AK - биссектриса ∠CAB;) В результате получилось, что CE = R - r; R - радиус описанной окружности, r - вписанной, α = ∠CAB = ∠OAB; ∠OAB = α/2; AC*sin(α) = R - r; AC = 2*R*sin(α); (теорема синусов) r = R*sin(α/2); исключая AC и подставляя r/R = sin(α/2) = x; легко получить 1 - sin(α/2) = 2*(sin(α))^2 = 8*(sin(α/2))^2*(1 - (sin(α/2)^2); 8x^3 + 8x^2 - 1 =0; или x^3 + x^2 - 1/8 = 0; плохое кубическое уравнение, однако немного подумав, можно сообразить, что x = -1/2; - корень. Если сократить на (x + 1/2); получится уже квадратное уравнение x^2 + x/2 - 1/4 = 0; Единственный положительный (и меньше 1) корень этого уравнения x = (√5 - 1)/4; это синус 18°; поэтому сам угол при основании равен 36°;
Восточно-Сибирский регион включает республики: Бурятию, Туву и Хакассию, Красноярский край, Иркутскую и Читинскую обл. Он занимает территорию площадью в 4123 тыс. км2. Население — 9144 тыс. чел., в том числе городское — 6529 тыс. чел.
Регион играет важную роль в экономике России, занимая первое место по производству продукции цветной металлургии (около 30% общероссийского) и лесобумажной промышленности (около 17%). Хорошее развитие получили отрасли топливно-энергетического комплекса, сложившиеся на базе эффективных гидроэнергетических и угольных ресурсов. На долю региона приходится примерно 34% балансовых запасов угля России, около 62% потенциальных гидроэнергетических ресурсов, почти 18% прогнозных ресурсов нефти и 29% — природного газа. Значительное развитие получили также такие отрасли, как черная металлургия, машиностроение и металлообработка, химическая и нефтехимическая промышленность, ВПК. В то же время недостаточно развиты легкая и пищевая промышленность, сельское хозяйство, что обуславливает соответствующую зависимость Восточной Сибири от западных районов России и от импорта. Кроме того, регион отстает от среднероссийского уровня по основным показателям социальной инфраструктуры и качеству жизни населения (обеспеченности жильем, продуктами питания, услугами и т. п.).
Ясно, что 1) треугольник тупоугольный - потому что центр описанной окружности O лежит за пределами треугольника. 2) все симметрично относительно высоты треугольника, проведенной к основанию, и оба центра - K и O, лежат на прямой, содержащей эту высоту (ось симметрии).
Далее, фигура AKBO - ромб, так как диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой E (OK по условию, а AB - в силу упомянутой симметрии). В ромбе диагонали - заодно и биссектрисы углов, поэтому ∠KAO = ∠CAB = 2*∠OAB; (я напомню, что AK - биссектриса ∠CAB;)
В результате получилось, что CE = R - r; R - радиус описанной окружности, r - вписанной, α = ∠CAB = ∠OAB; ∠OAB = α/2;
AC*sin(α) = R - r;
AC = 2*R*sin(α); (теорема синусов)
r = R*sin(α/2);
исключая AC и подставляя r/R = sin(α/2) = x; легко получить
1 - sin(α/2) = 2*(sin(α))^2 = 8*(sin(α/2))^2*(1 - (sin(α/2)^2);
8x^3 + 8x^2 - 1 =0; или x^3 + x^2 - 1/8 = 0;
плохое кубическое уравнение, однако немного подумав, можно сообразить, что x = -1/2; - корень. Если сократить на (x + 1/2); получится уже квадратное уравнение
x^2 + x/2 - 1/4 = 0;
Единственный положительный (и меньше 1) корень этого уравнения
x = (√5 - 1)/4;
это синус 18°;
поэтому сам угол при основании равен 36°;
Восточно-Сибирский регион включает республики: Бурятию, Туву и Хакассию, Красноярский край, Иркутскую и Читинскую обл. Он занимает территорию площадью в 4123 тыс. км2. Население — 9144 тыс. чел., в том числе городское — 6529 тыс. чел.
Регион играет важную роль в экономике России, занимая первое место по производству продукции цветной металлургии (около 30% общероссийского) и лесобумажной промышленности (около 17%). Хорошее развитие получили отрасли топливно-энергетического комплекса, сложившиеся на базе эффективных гидроэнергетических и угольных ресурсов. На долю региона приходится примерно 34% балансовых запасов угля России, около 62% потенциальных гидроэнергетических ресурсов, почти 18% прогнозных ресурсов нефти и 29% — природного газа. Значительное развитие получили также такие отрасли, как черная металлургия, машиностроение и металлообработка, химическая и нефтехимическая промышленность, ВПК. В то же время недостаточно развиты легкая и пищевая промышленность, сельское хозяйство, что обуславливает соответствующую зависимость Восточной Сибири от западных районов России и от импорта. Кроме того, регион отстает от среднероссийского уровня по основным показателям социальной инфраструктуры и качеству жизни населения (обеспеченности жильем, продуктами питания, услугами и т. п.).