Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.
Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник S=(a²√3):4 Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды. Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме. S=ah:2 Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему. Угол АSC- прямой. Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный.
Апофема грани пирамиды - высота и медиана этого треугольника. Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.
Высота SM равна половине АС и равна а:2 Площадь треугольника АSС=(а*а:2):2=а²:4 Площадь боковой поверхности равна 3а²:4 Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания Sбок:S ᐃ АВС=(3а²:4):{(a²√3):4}=√3
Заданный двугранный угол при основании в 60 градусов это угол между апофемой (высотой боковой грани) и проекцией апофемы на плоскость основания, равной по величине стороне а квадратного основания. Тогда угол между высотой и апофемой равен 90-60=30градусов. Высота H, апофема А и проекция апофемы на плоскость основания, равная половине стороны, т.е. 0,5а, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной апофеме. Найдём половину стороны основания: 0,5а = Н·tg 30° = 4·√3·√3/3 = 4. Тогда а = 8. Найдём апофему А = Н:cos30° = 4·√3/0.5√3 = 8 Найдём площадь основания пирамиды: Sосн = а² = (8)² = 64 Боковая поверхность пирамиды состоит из 4=х одинаковых треугольников, основанием каждого тр-ка служит сторона квадрата а, а высотой - апофема А Sбок = 4·0,5·а·А = 2·8·8 = 128 S полн = Sбок + Sосн = 128 + 64 = 192
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°.
Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.
Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник
S=(a²√3):4
Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды.
Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме.
S=ah:2
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему.
Угол АSC- прямой.
Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный.
Апофема грани пирамиды - высота и медиана этого треугольника.
Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.
Высота SM равна половине АС и равна а:2
Площадь треугольника АSС=(а*а:2):2=а²:4
Площадь боковой поверхности равна 3а²:4
Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания
Sбок:S ᐃ АВС=(3а²:4):{(a²√3):4}=√3
0,5а = Н·tg 30° = 4·√3·√3/3 = 4.
Тогда а = 8.
Найдём апофему
А = Н:cos30° = 4·√3/0.5√3 = 8
Найдём площадь основания пирамиды:
Sосн = а² = (8)² = 64
Боковая поверхность пирамиды состоит из 4=х одинаковых треугольников, основанием каждого тр-ка служит сторона квадрата а, а высотой - апофема А
Sбок = 4·0,5·а·А = 2·8·8 = 128
S полн = Sбок + Sосн = 128 + 64 = 192