У колі проведено діаметр АВ і хорду АС. Знайдіть кут ВАС, якщо градусні міри дуг ВС і АС відносяться як 7 : 2.

Начертите треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС гнужно ответить точки М(на АВ) и Р(на ВС) так что бы сторона АС || МР. У вас получиться 2 треугольника: АВС и МРВ:
Решение:
Рассмотрим треугольники АВС и МРВ:
<В- общий угол;
<А=<РМВ- как соответствующие углы при АС||МР и секущей АВ
<В=<МРВ - как соответствующие углы при АС||МР и секущей ВС
Значит ΔАВС~ΔМРВ (подобен) по трём углам
От сюда следует что стороны этих треугольников пропорциональны, а их площади относятся как коэффициент подробности в квадрате:
АС/МР=АВ/МВ=ВС/РВ
Подставим значения в первые 2 отношения и найдём АС:
АС/28=16/14
По правилу пропорции найдём АС=
АС=(28*16)/14=(2*16)/1=32см
S(ABC)/S(MPB)=(AC/MP)^2=(32/28)^2=(8/7)^2=64/49
ответ: АС=32см; S(ABC)/S(MPB)=64/49

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный,
тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120°

Проведем ВК - высоту и медиану.
Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8.

По свойству биссектрисы:
ВЕ : ЕС = АВ :АС
8 : x = (x + 8) : (2y)
16y = x(x + 8)
y = x(x + 8)/16

Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса:
y = BC·cos∠BCK
y = (x + 8)·√3/2

Из двух уравнений получаем:
x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2
x/16 = √3/2
x = 8√3

AB = BC = 8 + 8√3 (см)

Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120°
Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)