*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.
2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.
Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:
Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),
R² = 16 ⇒ R = 4
Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:
3. Найти уравнение плоскости α.
Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.
n = (A; B; C) -- вектор нормали ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда
Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:
4. Найти общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.
Прежде чем рассматривать 6 угольник. Давайте рассмотрим 4 угольник. Чуть позже объясню почему. (рисунок 1) Соединим середины сторон 4 угольника ABCD. Проведем диагональ AC Очевидно что MN-средняя линия треугольника ABC,откуда MN||AC, также PQ-cредняя линия треугольника ACD ,то PQ||AC. То выходит что MN||PQ. Анологично при проведении другой диагонали докажем что MQ||NP. То MNPQ-параллелограмм. Рассмотрим наконец 6 угольник проведем в нем диагональ D (2 рисунок) Она бьет его на 2 четырехугольника. На ней отметим точку S,являющуюся серединой диагонали. То из выше сказанного A1A2A3S-параллелограмм. Понятно , что для точек A1 A2 A3 cуществует одна и только одна точка H, для которой A1A2A3H-параллелограмм. А значит точка H совпадает с точкой S. H=S Тк второй такой точки не существует. Рассуждая анологично для второго 4 угольника. Покажем что M=S. А значит формально говоря: H=M ЧТД.
1. Найти угол между векторами AС и АB.
*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.
2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.
Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:
Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),
R² = 16 ⇒ R = 4
Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:
3. Найти уравнение плоскости α.
Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.
n = (A; B; C) -- вектор нормали ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда
Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:
4. Найти общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.
Зададим прямую параметрически:
Исключим параметр λ:
Последняя система -- это общее уравнение прямой.
Чуть позже объясню почему. (рисунок 1)
Соединим середины сторон 4 угольника ABCD.
Проведем диагональ AC
Очевидно что MN-средняя линия треугольника ABC,откуда
MN||AC, также PQ-cредняя линия треугольника ACD ,то PQ||AC.
То выходит что MN||PQ. Анологично при проведении другой диагонали докажем что MQ||NP. То MNPQ-параллелограмм.
Рассмотрим наконец 6 угольник проведем в нем диагональ D (2 рисунок)
Она бьет его на 2 четырехугольника.
На ней отметим точку S,являющуюся серединой диагонали.
То из выше сказанного A1A2A3S-параллелограмм.
Понятно , что для точек A1 A2 A3 cуществует одна и только одна точка
H, для которой A1A2A3H-параллелограмм. А значит точка H совпадает с точкой S. H=S Тк второй такой точки не существует.
Рассуждая анологично для второго 4 угольника. Покажем что
M=S.
А значит формально говоря: H=M
ЧТД.