у правильний многокутник , сторона якого дорівнює 8 см вписано і описано навколо нього кола . Знайдіть довжину вписаного кола якщо довжина описаного дорівнює 10 пі см​

1) об'єм піраміди дорівнює тритині добутку площі основи на висоту піраміди. 
а) знахдимо площу трикутника: корінь (21*(21-13)(21-14)(21-15)), де 21 -- це півпериметр 
площа дорівнює 84 см квадратних. 
б) знаходимо висоту ОД піраміди. Оскільки двогранні кути при кожному ребрі основи піраміди рівні між собою, то точка Д, що лежить на основі піраміди, співпадає з центром вписаного кола трикутника-основи. Радіус цього кола дорівнює відношенню площі трикутника до його півпериметра, і дорівнює 4см.
Якщо на малюнку піриміди вказати цей радіус вписаного кола відрізком ДК, а точку К з'єднати з вершиною піраміди, то отримаємо прямокутний трикутник ДКО, де ДО висота піраміди, ДК дорівнює 4см, а кут ДКО дорівнює 45град за умовою задачі. Звідси зханодимо висоту. Т. я. прямокутний трикутник ДОК при основі ОК має один з кутів, що дорівнює 45 град, то за теоремою суми кутів трикутника, визначаємо, що інший кут при основі ОК також дорівнює 45град. Значить трикутник ДОК є прямокутним рівнобедренним трикутником, а значить катети ДО та ДК рівні між собою, і дорівнюють 4см 
Тоді об'єм піраміди дорівнює 112см кубічних 
2) ця задача розв'язується МАЙЖЕ так само.

Рассмотрим получившиеся треугольники AOD и АО1В. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого:
<AOD=<AO1B=20° по условию;
< A - общий
Значит, <ADO=<ABO1 (это углы B и D в четырехугольнике)
Пусть общий для обоих треугольников AOD и АО1В угол А будет х. Выразим неизвестные углы ADO и ABO1, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:
<ADO=<ABO1=180-(<A+20)=160-<A=160-x (<D=<B=160-x)
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Зная сумму его углов, выразим угол С:<C=360-(<A+<B+<D)=360-(x+160-x+160-x)=40+х.
Т.е.<C=40+<A (поскольку за х мы принимали угол А). Таким образом, мы видим, что разница между углами С и А равна 40 градусов.