1. Пусть есть две ПРОИЗВОЛЬНЫЕ касающиеся окружности радиусов r и R, и к ним проведена общая внешняя касательная. Если провести радиусы в точки касания и линию центров, то получится прямоугольная трапеция с основаниями r и R и боковой стороной r + R;откуда длину касательной d (между точками касания) легко найти (r + R)^2 = d^2 + (R - r)^2; d = 2√(R*r); 2. В данном случае есть ТРИ пары окружностей радиуса x, r = 4; R = 9; причем сумма длин внешних касательных между первой и второй, первой и третьей равна длине внешней касательной между второй и третьей. d = d1 + d2; 2√(R*x) + 2√(r*x) = 2*√(R*r); x = R*r/(√R + √r)^2 = 9*4/(3 + 2)^2 = 36/25;
ВМ=КД по условию задачи. ВС=СД как стороны прямоугольника. угол АВМ равен углу СДК как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Эти треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. ------------ Получившийся четырехугольник - параллелограмм. Четырехугольник АМСК составлен из двух треугольников. Они равны, т.к. углы при М и К равны как дополняющие до 180 градусов углы ВМА и СКD, стороны АМ=СК равны в равных треугольниках, а МК - общая сторона. Углы при М и К накрестлежащие при пересечении АМ и СК секущей, следовательно, АМ || СК, и параллельность и равенство противоположных сторон четырехугольника - признак параллелограмма. Четырехугольник АМСК будет ромбом, если исходный прямоугольник - квадрат.
(r + R)^2 = d^2 + (R - r)^2; d = 2√(R*r);
2. В данном случае есть ТРИ пары окружностей радиуса x, r = 4; R = 9;
причем сумма длин внешних касательных между первой и второй, первой и третьей равна длине внешней касательной между второй и третьей.
d = d1 + d2;
2√(R*x) + 2√(r*x) = 2*√(R*r);
x = R*r/(√R + √r)^2 = 9*4/(3 + 2)^2 = 36/25;
ВС=СД как стороны прямоугольника.
угол АВМ равен углу СДК как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.
Эти треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
------------
Получившийся четырехугольник - параллелограмм.
Четырехугольник АМСК составлен из двух треугольников.
Они равны, т.к. углы при М и К равны как дополняющие до 180 градусов углы ВМА и СКD, стороны АМ=СК равны в равных треугольниках, а МК - общая сторона.
Углы при М и К накрестлежащие при пересечении АМ и СК секущей, следовательно, АМ || СК, и параллельность и равенство противоположных сторон четырехугольника - признак параллелограмма.
Четырехугольник АМСК будет ромбом, если исходный прямоугольник - квадрат.