У прямокутному трикутнику Один з кутів дорівнює 30° сума меншого катета і гіпотенузи дорівнює 12 дм Знайдіть медіану трикутника що проведена до гіпотенузи.
Так как кратчайшее расстояние от точки до прямой, да и вообще от чего-то до чего-то - есть перпендикуляр, то искать, соответственно надо его. итак, по построению у нас получается треугольник, со сторонами 15, 13, 4 (основание), h (тот самый перпендикуляр + высота треугольника). воспользуемся формулой герона. найдем полупериметр: см. далее, считаем по формуле: s = √p * (p - 15) * (p - 13) * (p - 4), где р - полупериметр. получаем: s = √16 * 1 * 3 * 12 = 4 * 6 = 24 cм². также, s = , где 4 - основание⇒ h = 6 cм. - искомая нами высота.
Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.
Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :))
L^2 = a*b - x*y;
Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.
Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому
L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть
c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));
Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)
Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.
По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))
с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;
t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);
Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой)
Отсюда sin(C) = 24/25;
Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2
Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы - не вышло. Может, кто-то сообразит?
Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.
Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :))
L^2 = a*b - x*y;
Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.
Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому
L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть
c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));
Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)
Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.
По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))
с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;
t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);
Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой)
Отсюда sin(C) = 24/25;
Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2
Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы - не вышло. Может, кто-то сообразит?