У рианобедреному трикутнику бична сторона ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 5÷7,починаючи від основи. Знайдить периметер трикутника, якщо основа дорівнює 10 см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, это высота и биссектриса.
Рассмотрим треугольник ADB:сторона AD=стороне BD , поэтому треугольник ADB-равнобедренный. Угол BDA+угол ABD + угол BAD=180градусов.Поэтому угол BAD+угол ABD=180-90( потому что высота)=90градусов. Угол BAD=ABD(потому что при основании равнобедренного треугольника). Угол BAD=90/2=45 градусов.Угол B=ABD*2(потому что биссектриса)=45*2=90 градусов. ответ:угол A=45 градусов, угол C=45 градусов, угол B=90градусов.

Трапеция АВСД: основания АД=а и ВС=b.
Отрезок ЕМ параллелен АД и ВС делит трапецию на 2 равновеликие трапеции Sаемд=Sевсм=Sавсд/2/
Обозначим ЕМ=х.
Опустим из вершины В высоту ВН=h на основание АД, она пересекает ЕМ в точке О:  ВН=ВО+ОН=h₁+h₂
Sаемд=(АД+ЕМ)*ОН/2=(а+х)*h₂/2
Sевсм=(ЕМ+ВС)*ВО/2=(х+b)*h₁/2
Sавсд=(АД+ВС)*ВН/2=(а+b)*h/2=(а+b)*(h₁+h₂)/2
Составим систему уравнений:
1) Sаемд=Sевсм
2) 2Sаемд=Sавсд
Подставляем:
1) (а+х)*h₂/2=(х+b)*h₁/2  или  h₂/h₁=(х+b)/(х+а)
2) 2*(а+х)*h₂/2=(а+b)*(h₁+h₂)/2  или 2(а+х)=(а+b)*(h₁+h₂)/h₂
2(а+х)=(а+b) * (h₁/h₂+1)
2(а+х)=(а+b) * ( (х+а)/(х+b) + 1)
2(а+х)(х+b)=(а+b) *  (х+а+х+b) 
2(а+х)(х+b)=(а+b)²+2х(а+b) 
2ах+2х²+2аb+2xb=a²+2ab+b²+2ax+2xb
2x²=a²+b²
x=√(a²+b²)/2
ответ: √(a²+b²)/2