Центр О описанной около треугольника АВС окружности лежит в точке пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника. Поэтому проводим высоту ВК к основанию АС (равную 8 дм) и высоту АЕ к боковой стороне ВС. Тогда отрезки ОВ и ОА равны как радиусы описанной окружности. Обозначим их за х. Тогда ОК = ВК - ВО = 8 - х. В прямоугольном треугольнике АВК катет АК найдём по теореме Пифагора: АК*АК = 10*10 - 8*8 = 36, значит АК = 6 дм. Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АОК: гипотенуза АО = х, катет АК = 6 дм, катет ОК = 8 - х. Составляем уравнение: х*х = 6*6 + (8 - х)*(8 - х); х*х = 36 + 64 - 16х + х*х; 16х = 100; х = 6,25 (дм). ответ: R = 6,25 дм.
Если обозначим угол MNK за х, то угол NK будет равен 2х. По условию разность между этими углами 48 градусов. Составляем уравнение: 2х - х = 48. Значит, меньший угол равен 48 градусов, а больший - 96 градусов. Их сумма равна 144 градуса. Угол MNP может принимать два значения. Если лучи NM и NP находятся в одной полуплоскости от прямой NK (т.е. луч NM является внутренним лучом угла PNK), то угол MNP равен разности 96 - 48 = 48 (градусов). Если лучи NM и NP находятся по разные стороны от прямой NK, то угол MNP = 360 - 144 = 216 (градусов).
