У трикутнику ABC ∠A = ∠C. На сторонах АВ і ВС від­кладено рівні відрізки AM і СК відповідно. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо CM = 14 см.

Надо с объяснением!

Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части. 
При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников) 
То есть применяя теорему Пифагора, получаем: 
(Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2) 
(Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2) 
Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2)) 
(Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности) 
Теперь осталось найти сумму трёх выражений: 
(a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2 
То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора. 

Дано

прямоуг. трап. ABCD

AC   |   BD - диагонали

/  ACD = 60

Док-ть

BD=1/2(BC+AD)

Док-во

1) Рассм. тр. ACD

/  ACD = 60

/  ADC = 90 (AC   |   BD)

⇒ /  CAD = 180-90-60 = 30

2) Рассм. тр. AOD

/  AOD = 90 (AC   |   BD)

/  DAO = 30

⇒ /  ADO = 180-30-90 = 60

Значит OD=1/2*AD (в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)

3) Рассм. тр BOC

/  BOC = 90 (AC   |   BD)

/  OCB = 30 (по условию трап. прям. - /  BCD = 90)

⇒ /  CBO = 180-90-30 = 60

Значит BO=1/2*BC ((в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)

3) BD=BO+OD

BD=1/2*AD+1/2*BC = 1/2(AD+BC)

ч.т.д.