У трикутнику ABC CK бісектриса що ділить сторону AB на AK=3 KN=8 знайдіть відношення AC:BC​

Мы должны увидеть, что в основании лежит прямоугольный треугольник (угол B=90гр), это доказывается теоремой Пифагора. Так как MC перпендикулярна ABC, треугольник MCB - прямоугольный. Дальше по теореме о 3 перпендикулярах: CB перпендикулярна BA, MC перпендикулярна CB =>MB(наклонная) перпендикулярна BA. Это значит, что угол между данными в условии плоскостями есть угол B в треугольнике MCB. Так как этот треугольник прямоугольный: угол C=90гр, угол B=45гр =>уголM =углуB=45 гр, это значит, что треугольник равнобедренный и CB=MC=корень из 7 (это же высота). Формула объема пирамиды V=1/3*S(основания)*высоту.  S(основания)=1/2*BC*BA*sin(90)=2кореня из 7. Умножаем на высоту и получаем V=14.
ответ: 14

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
На приложенном рисунке 
<CKB=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1).
Или 90°=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1).
Или 180°=дугаBC+дугаAB1. (1)
<CMB=(1/2)*(дуга ВС+дугаАС1).
Или 180°=дуга ВС+дугаАС1 (2).
Но В1С1 - диаметр, значит сумма градусных мер дуг В1А и АС1
равна 180°.
Просуммируем (1) и (2):
2*(дугаВС)+(дугаАВ1+дугаАС1)=360°.
Или 2*(дугаВС)+180°=360°. Отсюда градусная мера дуги
ВС=180°:2=90°. Следовательно, вписанный <ВАС, опирающийся на дугу ВС, равен 45°.
ответ: <ВАС=45°.

Второй вариант:
Так как  треугольник  ABC  вписан в окружность, то углы  BС1С и BAC равны  как углы вписанные  в окружность и опирающиеся на одну дугу. Так как отрезок B1С1 проходит  через центр окружности, то B1C1-диаметр, тогда угол  В1ВС1 прямой, так как опирается на диаметр. Если обозначить через К и М основания высот, а E - точка  пересечения высот, то угол  ВЕС1=90-BС1C. 
Угол  ЕВМ=90-BEС1=BС1С,  но <BC1C и <BAC равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВС.
Тогда <BAC=<EBM и из прямоугольного треугольника ВКА имеем: 2*<BAC=90°.
<BAC=45°.
ответ: <BAC=45°.