Пусть ∠C = 2y, ∠BAD = α, ∠CAD = 3α, CE – диаметр описанной окружности ω треугольника CDO. Тогда ∠ODE = ∠OCE = y, ∠CDE = 90°, ∠DEC = 90° – 2y. Точка A лежит на продолжении отрезка DO за точку O, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка O. Значит, DEC – внешний угол треугольника ADE, откуда ∠DEC = 90° – 2y = 3α + y, то есть α = 30° – y. Поэтому ∠B = 180° – 2y – 4α = 60° + 2y. По теореме синусов и условию задачи sin2y/sin(60°+2y)=2/3. После очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2y = 2/√7. ответ: 2/√7.
1. Все грани куба - квадраты. Тогда ребро куба: а = √9 = 3 см V = a³ = 3 = 27 см³
2. а = 2 см - ребро основания призмы, α = 30° - угол в основании, h = 3 см - высота призмы.
V = Sосн · h
Sосн = a²·sinα = 4 · 1/2 = 2 см²
V = 2 · 3 = 6 см³
3. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной а = 5 см. ОС = а√3/3 = 5√3/3 см как радиус описанной окружности. ΔSOC - прямоугольный, равнобедренный, значит высота пирамиды SO = ОС = 5√3/3 см
V = 1/3 · Sосн · SO V = 1/3 · a²√3/4 · SO V = 1/3 · 25√3/4 · 5√3/3 = 125/12 см³
По теореме синусов и условию задачи sin2y/sin(60°+2y)=2/3. После очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2y = 2/√7.
ответ: 2/√7.
Все грани куба - квадраты. Тогда ребро куба:
а = √9 = 3 см
V = a³ = 3 = 27 см³
2.
а = 2 см - ребро основания призмы,
α = 30° - угол в основании,
h = 3 см - высота призмы.
V = Sосн · h
Sосн = a²·sinα = 4 · 1/2 = 2 см²
V = 2 · 3 = 6 см³
3.
В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной а = 5 см.
ОС = а√3/3 = 5√3/3 см как радиус описанной окружности.
ΔSOC - прямоугольный, равнобедренный, значит высота пирамиды
SO = ОС = 5√3/3 см
V = 1/3 · Sосн · SO
V = 1/3 · a²√3/4 · SO
V = 1/3 · 25√3/4 · 5√3/3 = 125/12 см³