Из заданного соотношения длин сторон треугольника АВС имеем:
АВ = 1, АС = (3/2)АВ, ВС = (4/3)АВ.
Приводим к общему знаменателю и представляем длины сторон подобного треугольника в целом виде: А1В1 = 6, А1С1 = 9, В1С1 = 8.
Находим углы этого (они же и у заданного) треугольника по теореме косинусов : cosα = (b²+c²−a²)/2bc.
Подставив данные длин сторон треугольника А1В1С1, находим:
cos A = 0,490741,
cos B = 0,1979167,
cos C = 0,756944.
Соответственно углы равны:
A = 1,057857 радиан или 60,61072 градусов,
B = 1,371564 78,584842,
C = 0,712172 40,804438.
Отсюда находим угол Q1D1B1 по сумме углов смежного треугольника: ∠Q1D1B1 = (1/2)∠А + ∠С = 71,109798 градуса.
Теперь переходим к длинам треугольника Q1D1B1.
Длина B1D1 по свойству биссектрисы р = ((ас)/(b + c)) равна:
B1D1 = p = (8*6)/(9 + 6) = 48/15 = 16/5 = 3,2.
Отрезок С1D1 = q = 8 - 3,2 = 4,8.
Находим длину биссектрисы А1D1:
A1D1 = √(bc - pq) = √(9*6 - 3,2*4,8) = √38,64 ≈ 6,216108.
Биссектриса А1D1 делится точкой пересечения с биссектрисой В1Е1 в отношении (b + c)/a. Отсюда находим длину Q1D1.
Q1D1 = A1D1*(a/(a + b +c)) = 6,216108*(8/23) = 2,162125.
Теперь можно определить площадь подобного треугольника Q1D1B1 по двум сторонам и углу между ними.
S(Q1B1D1) = (1/2)*2,162125*3,2*sin71,109798° = 3,273079.
Находим коэффициент"к" пропорциональности треугольников QBD и Q1B1D1:
к =√(S(QBD)/S(Q1B1D1)) = √(1/3,273079) = 0,552741.
По этому же коэффициенту находим длины сторон треугольника АВС.
Площадь АВС = 7,1875 А1В1 = В1С1 = А1С1 = Р = 12,713046
AB =3,316447
BC =4,421929
AC =4,974670/
Площадь АВС находим по формуле Герона.
Р = 12,713046, р = 6,356523.
S(АВС) = 7,1875 кв.ед.
Проверяем соотношение длин сторон:
1 1,3333 1,5
1 4/3 3/2. Соответствует заданному.
ответ: площадь АВС = 7,1875 кв.ед.
4. Дан ромб ABCD.Выразите векторы BD и СA через AB и СD .
4. Дан ромб ABCD.Выразите векторы BD и СA через AB и СD
Задача с недостающими данными.
СD ничего не прибавляет к условию ( СD = - AB )
Поэтому , допустим СD задан вектор BC
BD = BA +AD = - AB + BC ; CA = CB + BA = - BC - AB = - ( AB +BC ) .
или коротко CA = - AC = - (AB +BC ) .
- - - - - - - - - - - - - - -
5. Дано: a(1 ; - 4) и b(3 ; -1) . Найдите 3a - 2b .
a = i - 4j ; b =3i -j ; 3a - 2b =3( i - 4j ) -2(3i -j) =3i -12j -6i+2j = -3i -10j .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3a (3*1 ; 3(-4) ) ⇔ 3a (3 ; -12 ) ; -2b (-2*3 ; -2*(-1) ) ⇔ - 2b (- 6 ;2 )
3a - 2b = 3a +(- 2b) ( 3 - 6 ; - 12+2 ) 3a - 2b ( - 3 ; - 10 )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2b(2*3 ; 2*(-1) ) ⇔2b(6 ; -2 ) ; - 2b( -6 ; 2 )
Объяснение:
Из заданного соотношения длин сторон треугольника АВС имеем:
АВ = 1, АС = (3/2)АВ, ВС = (4/3)АВ.
Приводим к общему знаменателю и представляем длины сторон подобного треугольника в целом виде: А1В1 = 6, А1С1 = 9, В1С1 = 8.
Находим углы этого (они же и у заданного) треугольника по теореме косинусов : cosα = (b²+c²−a²)/2bc.
Подставив данные длин сторон треугольника А1В1С1, находим:
cos A = 0,490741,
cos B = 0,1979167,
cos C = 0,756944.
Соответственно углы равны:
A = 1,057857 радиан или 60,61072 градусов,
B = 1,371564 78,584842,
C = 0,712172 40,804438.
Отсюда находим угол Q1D1B1 по сумме углов смежного треугольника: ∠Q1D1B1 = (1/2)∠А + ∠С = 71,109798 градуса.
Теперь переходим к длинам треугольника Q1D1B1.
Длина B1D1 по свойству биссектрисы р = ((ас)/(b + c)) равна:
B1D1 = p = (8*6)/(9 + 6) = 48/15 = 16/5 = 3,2.
Отрезок С1D1 = q = 8 - 3,2 = 4,8.
Находим длину биссектрисы А1D1:
A1D1 = √(bc - pq) = √(9*6 - 3,2*4,8) = √38,64 ≈ 6,216108.
Биссектриса А1D1 делится точкой пересечения с биссектрисой В1Е1 в отношении (b + c)/a. Отсюда находим длину Q1D1.
Q1D1 = A1D1*(a/(a + b +c)) = 6,216108*(8/23) = 2,162125.
Теперь можно определить площадь подобного треугольника Q1D1B1 по двум сторонам и углу между ними.
S(Q1B1D1) = (1/2)*2,162125*3,2*sin71,109798° = 3,273079.
Находим коэффициент"к" пропорциональности треугольников QBD и Q1B1D1:
к =√(S(QBD)/S(Q1B1D1)) = √(1/3,273079) = 0,552741.
По этому же коэффициенту находим длины сторон треугольника АВС.
Площадь АВС = 7,1875 А1В1 = В1С1 = А1С1 = Р = 12,713046
AB =3,316447
BC =4,421929
AC =4,974670/
Площадь АВС находим по формуле Герона.
Р = 12,713046, р = 6,356523.
S(АВС) = 7,1875 кв.ед.
Проверяем соотношение длин сторон:
1 1,3333 1,5
1 4/3 3/2. Соответствует заданному.
ответ: площадь АВС = 7,1875 кв.ед.
4. Дан ромб ABCD.Выразите векторы BD и СA через AB и СD .
4. Дан ромб ABCD.Выразите векторы BD и СA через AB и СD
Задача с недостающими данными.
СD ничего не прибавляет к условию ( СD = - AB )
Поэтому , допустим СD задан вектор BC
BD = BA +AD = - AB + BC ; CA = CB + BA = - BC - AB = - ( AB +BC ) .
или коротко CA = - AC = - (AB +BC ) .
- - - - - - - - - - - - - - -
5. Дано: a(1 ; - 4) и b(3 ; -1) . Найдите 3a - 2b .
a = i - 4j ; b =3i -j ; 3a - 2b =3( i - 4j ) -2(3i -j) =3i -12j -6i+2j = -3i -10j .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3a (3*1 ; 3(-4) ) ⇔ 3a (3 ; -12 ) ; -2b (-2*3 ; -2*(-1) ) ⇔ - 2b (- 6 ;2 )
3a - 2b = 3a +(- 2b) ( 3 - 6 ; - 12+2 ) 3a - 2b ( - 3 ; - 10 )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2b(2*3 ; 2*(-1) ) ⇔2b(6 ; -2 ) ; - 2b( -6 ; 2 )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Объяснение: