Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.
Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник. Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.
Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок)
Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний. Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды. Эту высоту найдем из треугольника SOM. Она равна SM·sin (60°) SO=(9/√π)·(√3):2 Радиус вписанной сферы в эту пирамиду r=(3√3):2√π S=4πR² S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.
Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.
Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.
Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок)
Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний.
Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды.
Эту высоту найдем из треугольника SOM.
Она равна SM·sin (60°)
SO=(9/√π)·(√3):2
Радиус вписанной сферы в эту пирамиду
r=(3√3):2√π
S=4πR²
S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²
Треугольник АВС задан координатами своих вершин :
А (7; – 11), В (2; 5), С (– 7; 10)
а) уравнения сторон треугольника и длины его сторон;
АВ: (х - 7)/(-5) = (у + 11)/16, 16х + 5у - 57 = 0.
ВС: (х - 2)/(-9) = (у - 5)/5, 5х + 9у - 55 = 0.
АС: (х - 7)/(-14) = (у + 11)/21, 3х + 2у + 1 = 0.
Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √281 ≈ 16,76305.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √106 ≈ 10,29563.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √637 ≈ 25,23886.
б) уравнение высоты СD и её длина;
Уравнение АВ с угловым коэффициентом: у = (-16/5)х + (57/5).
к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-16/5) = 5/16. СД: у = (5/16)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки С: 10 = (5/16)*(-7) + в.
Отсюда в = 10 + (35/16) = 195/16.
Уравнение высоты СД: у = (5/16)х + (70/16), 5х - 16у + 195 = 0.
Её длину можно найти двумя найти координаты точки Д или 2) через площадь АВС.
1) Точка Д как точка пересечения АВ и СД:
16х + 5у - 57 = 0 *16 = 256х + 80у - 912 = 0
5х - 16у + 195 = 0 *5 = 25х - 80у + 975 = 0 сложение
281х + 63 = 0
х = -63/281 = -0,2242, у = 12,11744.
|СД| = √((-0,2242 + 7)² + (12,11744 - 10)²) = √50,39502 = 7,098945.
2) Площадь треугольника ABC
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 59,5
Находим длину АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 16,763055
|СД| = 2S/|AB| = 2*59,5/16,763055 = 7,098945.
в) уравнение прямой проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.
Угловой коэффициент прямой АЕ равен такому у прямой ВС.
к(ВС) = -5/9.
АЕ: у = (-5/9)х +в. Для определения параметра в подставим координаты точки А:
-11 = (-5/9)*7 + в. Отсюда в = -11 + (35/9) = -64/9.
Уравнение АЕ: у = (-5/9)х - (64/9).
г) величина угла С. Точки А (7; – 11), В (2; 5), С (– 7; 10).
Вектор СА:(14; -21), его модуль равен √(142 + (-21)2) = √(196 + 441) = √637 = 7√13 ≈ 25,23886.
Вектор СВ:(9; -5), его модуль равен √(92 + (-5)2) = √(81 + 25) = √106 ≈ 10,29563.
Скалярное произведение СА*СВ = 14*9 + (-21)*(-5) = 126 + 105 = 231.
Угол между векторами:
cos α = a • b
|a||b|
cos α = 231 = 33√1378 / 1378 ≈ 0.8889745.
7√13 • √106
Угол равен arc cos0,8889745 = 0,475695 радиан или 27,25534 градуса.