Унаслідок повороту навколо початку координат на 90 градусів за годинниковою стрілкою та наступного паралельного перенесення, заданого формулами х’=х-3; у’=у+1, відрізрк АВ перейшов відрізок CD. Визначте координати точок С і D, якщо А(1;2), В(4;8). У відповідь запишіть: C( х;у ), D(х;у) *

Задача:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C =90° угол B=30°, AB=12 см, CD- высота.  

а)Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABC, найдите отношение их площадей  б)отрезки, на которые биссектриса угла A делит катет BC

Объяснение:

а)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Значит ΔАСД подобен ΔАВС:, т.к. ∠Д=∠С=90 , ∠А=∠общий. Найдем коэффициент подобия  к=АС/АВ, к=6/12, к=1/2.  

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия: S(АСД):S(АВС)=к² , S(АСД):S(АВС)=1/4 .

б)

Найдем стороны в ΔАВС :

СА=1/2 АВ по св.угла 30, СА=6.

СВ²=АВ²-СА² по т. Пифагора, СВ²=144-36=108, СВ=√108=6√3.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

СЕ:СА=ВЕ:ВА  .

Пусть СЕ=х, ВЕ=6√3-х

х:6 =(6√3-х):12

6√3-х=2х

6√3=3х

х=2√3 т.е  СЕ=2√3, ВЕ=6√3-2√3=4√3

Находим диагональ основания.

Её половина равна  √((6/2)² + (8/2)²) = 5 см.

В задании не оговорено, но примем, что все боковые рёбра равны. Проекция бокового ребра на основание - это и есть половина диагонали основания пирамиды.

Если боковое ребро равно 10 см, то имеем прямоугольный треугольник с основанием 5 см, гипотенузой 10 см и вторым катетом - неизвестной высотой Н.

Н = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 см.

Находим объём: V = (1/3)SoH = (1/3)*(6*8)*5√3 = 80√3 см³.

ответ: высота равна 5√3 см, объём равен 80√3 см³.