Уровень А
1. В треугольнике АВС ∠А = 100°, ∠С = 40°.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны.
б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них
а) Докажите, что △AOD = △ВОС.
б) Найдите ∠OBC, если ∠ODA = 40°, ∠BOC = 95°.

3. В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.
Уровень Б
4. В треугольнике АВС высота CD делит угол С на два угла, причем ∠АСD = 25°, ∠BCD = 40°.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны.
б) Высота данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠BОC.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство:

Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.

Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:

∠1 < ∠С.

∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.

∠2 > ∠А.

И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:

∠А < ∠2 < ∠C, значит

∠А < ∠С

Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Пусть в треугольнике АВС ∠С >  ∠A. Докажем, что АВ > ВС.

Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.

В треугольнике ABC площади 12 стороны AB и BC равны 5 и 6 соответственно.Найти AC и медиану   BM  к стороне AC.

По  теореме косинусов :
AC² =AB² +BC² -2AB*BC *cosB =5² +6² -2*5*6*cosB = 61 - 60*cosB.
Определим  cosB.
S = (1/2)*AB*BC*sinB  ⇒ sinB =2S/(AB*BC) = 2*12 / 5*6  = 4/5,
следовательно :  cosB = ± √ (1-sin²C) =± √ (1-(4/5)/² )  =  ± 3/5.
a)   ∠B  _острый ⇒ cosB = 3/5.
AC² = 61 - 60*cosB = 61 - 60*(3/5) =25 ⇒ AC =5. 
* * *AC =AB , ∆ABС - равнобедренный * * *
медиана  к стороне AC: 
BM=(1/2)√(2(AB² +BC²)-AC²) =(1/2)√(2(5² +6²) -5² )=(1/2)√(2(5² +6²)-5²) =
=√97 / 2 .
или 
b)   ∠B  _тупой ,  т.е.   cosB =  - 3/5
AC² =  61 - 60*cosB =61 - 60*( -3/5) = 61 + 60*(3/5) =97  ⇒ AC =√97.
BM=(1/2)√(2(AB² +BC²) -AC²) =(1/2)√(2(5² +6²) -97)=(1/2)*5 =
=2,5.