Окружность можно вписать только в такой четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны. Трапеция - четырехугольник. Трапеция по условию равнобедренная, следовательно, ее боковые стороны равны между собой. АВ=СD=(АD+ВС):2 АВ=(2+8):2=5 см Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции. Опустим из В высоту к основанию АD. Высота равнобедренной, проведенная из тупого угла, трапеции делит большее основание на два отрезка, из которых меньший равен полуразности оснований, а больший - их полусумме. АН=(8-2):2=3 см Треугольник АВН -«египетский», катет ВН=4 ( проверьте по т. Пифагора). Следовательно, r=4:2=2 см Площадь трапеции равна половине произведения ее высоты на сумму оснований. S (ABCD)=4*(2+8):2=20 cм² Площадь круга находят по формуле S=πr² S=π*2²=4π см² или 4*3,14= примерно 12, 56 см²
Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение. Точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. Следовательно, ВСЕ точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. Включая, разумеется, и середины ребер основания. То есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание. Это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. Вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. Причем сечение основанием является центральным. На самом деле задача уже решена, и дальше я так коротко. Пусть пирамида ABCS, O - центр основания, AC касается сферы в точке B1, AS - в точке A2. Тогда из сказанного выше следует, что треугольники AA2O и AB1O равны (по трем сторонам). То есть ∠SAO = 30°; Пусть AC = a; AS = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2; d = a*2/3; AB1 = a/2; => SB1 = a*√7/6; Отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и ПОЛУпериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2; Может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.
Трапеция - четырехугольник.
Трапеция по условию равнобедренная, следовательно, ее боковые стороны равны между собой.
АВ=СD=(АD+ВС):2
АВ=(2+8):2=5 см
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.
Опустим из В высоту к основанию АD.
Высота равнобедренной, проведенная из тупого угла, трапеции делит большее основание на два отрезка, из которых меньший равен полуразности оснований, а больший - их полусумме.
АН=(8-2):2=3 см
Треугольник АВН -«египетский», катет ВН=4 ( проверьте по т. Пифагора).
Следовательно,
r=4:2=2 см
Площадь трапеции равна половине произведения ее высоты на сумму оснований.
S (ABCD)=4*(2+8):2=20 cм²
Площадь круга находят по формуле
S=πr²
S=π*2²=4π см² или 4*3,14= примерно 12, 56 см²
Точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. Следовательно, ВСЕ точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. Включая, разумеется, и середины ребер основания. То есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание.
Это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. Вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. Причем сечение основанием является центральным.
На самом деле задача уже решена, и дальше я так коротко.
Пусть пирамида ABCS, O - центр основания, AC касается сферы в точке B1, AS - в точке A2.
Тогда из сказанного выше следует, что треугольники AA2O и AB1O равны (по трем сторонам). То есть ∠SAO = 30°;
Пусть AC = a; AS = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2;
d = a*2/3;
AB1 = a/2; => SB1 = a*√7/6;
Отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и ПОЛУпериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2;
Может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.