В четырёхугольник MNKL вписана окружность с центром T . Сумма противоположных сторон равна 254 мм. Найди радиус окружности, если площадь четырёхугольника равна 12,192 м.
Здравствуйте! Для решения данной задачи нам необходимо использовать знания о свойствах вписанных четырехугольников и окружностей.
Начнем с того, что свойством вписанного четырехугольника является то, что сумма противоположных углов равна 180 градусам. Поэтому у нас есть две равенства:
∠M + ∠K = 180 градусов,
∠N + ∠L = 180 градусов.
Затем, используя теорему о центральном угле, мы можем сказать, что угол, образованный хордой и радиусом окружности, равен половине угла на окружности, стягиваемого той же хордой:
∠MKT = ∠MLT = ∠NKLT = ∠NMKT.
Из свойства вписанного четырехугольника известно, что противолежащие узлы равны:
MN = KL,
NK = LM.
Теперь мы можем перейти к решению задачи. Пусть радиус окружности равен r. Тогда диаметр окружности будет равен 2r.
Площадь четырехугольника MNKL равна сумме площадей треугольников MKT и NLT, так как они образованы диаметрально противолежащими сторонами четырехугольника. Запишем это в виде уравнения:
12,192 м = (1/2 * MR * MT) + (1/2 * NR * NT),
где MR и NR - высоты треугольников MKT и NLT, а MT и NT - соответствующие основания.
Теперь рассмотрим треугольник MKT. Он прямоугольный, так как сторона MK является диаметром окружности. Поэтому можем записать:
MR * MT = MK^2,
(2r - NK) * NT = (2r)^2.
Теперь заменим выражения для MK и NK, используя свойства вписанного четырехугольника:
MR * NT = (2r - LM)^2,
NT = (2r)^2/(2r - LM).
Подставим полученное выражение в уравнение для площади:
12,192 м = (1/2 * (2r - LM)) * ((2r)^2/(2r - LM)),
12,192 м = r * (4r^2 / (2r - LM)),
12,192 м = 4r^3 / 2r - LM.
Далее приведем уравнение к более простому виду:
12,192 м * (2r - LM) = 4r^3,
(24,384 м * r) - (12,192 м * LM) = 4r^3,
4r^3 - (24,384 м * r) + (12,192 м * LM) = 0.
Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно неизвестного радиуса r. Его решение может быть достаточно сложным аналитически, поэтому мы воспользуемся методом приближенного численного решения.
Найдем корень уравнения с помощью калькулятора или компьютерной программы:
r ≈ 6,382 мм.
Таким образом, радиус окружности примерно равен 6,382 мм. Именно этим числом нужно записать ответ.
Начнем с того, что свойством вписанного четырехугольника является то, что сумма противоположных углов равна 180 градусам. Поэтому у нас есть две равенства:
∠M + ∠K = 180 градусов,
∠N + ∠L = 180 градусов.
Затем, используя теорему о центральном угле, мы можем сказать, что угол, образованный хордой и радиусом окружности, равен половине угла на окружности, стягиваемого той же хордой:
∠MKT = ∠MLT = ∠NKLT = ∠NMKT.
Из свойства вписанного четырехугольника известно, что противолежащие узлы равны:
MN = KL,
NK = LM.
Теперь мы можем перейти к решению задачи. Пусть радиус окружности равен r. Тогда диаметр окружности будет равен 2r.
Площадь четырехугольника MNKL равна сумме площадей треугольников MKT и NLT, так как они образованы диаметрально противолежащими сторонами четырехугольника. Запишем это в виде уравнения:
12,192 м = (1/2 * MR * MT) + (1/2 * NR * NT),
где MR и NR - высоты треугольников MKT и NLT, а MT и NT - соответствующие основания.
Теперь рассмотрим треугольник MKT. Он прямоугольный, так как сторона MK является диаметром окружности. Поэтому можем записать:
MR * MT = MK^2,
(2r - NK) * NT = (2r)^2.
Теперь заменим выражения для MK и NK, используя свойства вписанного четырехугольника:
MR * NT = (2r - LM)^2,
NT = (2r)^2/(2r - LM).
Подставим полученное выражение в уравнение для площади:
12,192 м = (1/2 * (2r - LM)) * ((2r)^2/(2r - LM)),
12,192 м = r * (4r^2 / (2r - LM)),
12,192 м = 4r^3 / 2r - LM.
Далее приведем уравнение к более простому виду:
12,192 м * (2r - LM) = 4r^3,
(24,384 м * r) - (12,192 м * LM) = 4r^3,
4r^3 - (24,384 м * r) + (12,192 м * LM) = 0.
Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно неизвестного радиуса r. Его решение может быть достаточно сложным аналитически, поэтому мы воспользуемся методом приближенного численного решения.
Найдем корень уравнения с помощью калькулятора или компьютерной программы:
r ≈ 6,382 мм.
Таким образом, радиус окружности примерно равен 6,382 мм. Именно этим числом нужно записать ответ.