В четырехугольнике ABCD точки E, G, F и H – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Средние линии EF и GH пересекаются в точке O. Известно, что SAEOH = 14 см2, SEBGO = 16 см2, SOGCF = 20 см2. Найди площадь четырехугольника HOFD.
б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.
б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.
Задача решается через векторы.
Построим вектор ;
Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A
;
Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;
От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны
Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:
(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;
Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;
Вектор имеет длину ;
Аналогично, AB = 10
При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;
Значит , а стало быть ;
В итоге .
Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:
ОТВЕТ:
/// примечание: ;
/// примечание: .