в четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD прямые. Точки M и K – середины его сторон AD и BC соответственно.Докажите ,что прямая MK перпендикулярна одной из сторон этого четырёхугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине (свойство).
Доккзательство: около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну. У описанного прямоугольного треугольника прямой угол (угол против гипотенузы) опирается на диаметр этой окружности. Следовательно, гипотенуза является диаметром описанной окружности, а медиана, проведенная к гипотенузе (делящая ее пополам по определению) равна радиусу этой окружности, то есть половине гипотенузы.
Значит так. Пусть n = 10; R - радиус окружности, m - длина второй хорды, которую надо найти, h - расстояние от центра до второй хорды.. Тогда 1) расстояния от центра до хорд и до точки пересечения образуют пифагоров треугольник 3,4,5, то есть h = 3; (точнее там образуется прямоугольник с диагональю 5 и одной стороной 4, откуда вторая сторона 3, это равносильно :) ) 2) Радиус, половина длины хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник. R^2 = 4^2 + (n/2)^2 = 4^2 + 5^2; (дальше не надо упрощать) (m/2)^2 + h^2 = R^2; (m/2)^2 = 4^2 + 5^2 - 3^2 = 2*4^2; (ну, это 32) m/2 = 4√2; m = 8√2; прощения за безграмотные комментарии :)
8 см.
Объяснение:
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине (свойство).
Доккзательство: около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну. У описанного прямоугольного треугольника прямой угол (угол против гипотенузы) опирается на диаметр этой окружности. Следовательно, гипотенуза является диаметром описанной окружности, а медиана, проведенная к гипотенузе (делящая ее пополам по определению) равна радиусу этой окружности, то есть половине гипотенузы.
1) расстояния от центра до хорд и до точки пересечения образуют пифагоров треугольник 3,4,5, то есть h = 3;
(точнее там образуется прямоугольник с диагональю 5 и одной стороной 4, откуда вторая сторона 3, это равносильно :) )
2) Радиус, половина длины хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник.
R^2 = 4^2 + (n/2)^2 = 4^2 + 5^2; (дальше не надо упрощать)
(m/2)^2 + h^2 = R^2;
(m/2)^2 = 4^2 + 5^2 - 3^2 = 2*4^2; (ну, это 32)
m/2 = 4√2; m = 8√2;
прощения за безграмотные комментарии :)