В каждой из вершин тетраэдра записали число, после чего на каждом ребре записали сумму чисел, стоящих на его концах. Оказалось, что сумма чисел, написанных на рёбрах, равна 1, сумма их квадратов равна 2, а сумма их кубов равна S (несократимая дробь). Укажите сумму числителя и знаменателя несократимой дроби S.

Линейный угол двугранного угла - угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими в гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало.

1)ВК-линия по которой касаются плоскости АКВ и СКВ. АВ лежит в плоскости АКВ и перпендикулярна КВ, ВС лежит в плоскости КВС и перпендикулярна КВ, значит АВС - линейный угол между плоскостями СКВ и АКВ.

2)ДС- ребро двугранного угла ВДСА. АЕ и ЕВ перпендикулярны ДС и лежат в гранях двугранного угла, значит АЕВ- линейный угол для двугранного ВДСА

Обозначим неизвестные:
- расстояние между плоскостями - х,
- одну из проекций -  у.
Тогда вторая проекция равна 14 - у.
Составим систему уравнений:
х² + у² = 13²
х² + (14 - у)² = 15².
Раскроем скобки во втором уравнении, в первом поменяем знаки и сложим их:
-х² - у² = -169
х² + 196 - 28у + у² = 225
       196 - 28у = 225 - 169
        28у = 140
             у = 140 / 28 = 5 см         - проекция АС
              14 - у = 14 - 5 = 9 см     - проекция ВД
       
х = √(13² - у²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см - расстояние между плоскостями.