В основании пирамиды S.АВС, объём которой равен 40, лежит разносторонний треугольник со сторонами 2, 7; 2, 8 и 2. Найди радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, если высота пирамиды равна этому радиусу

Здесь сложно в том чтобы догадаться что поднимают верёвку на равные колышки по всей длине экватора (но мне было сложно понять именно это =)))
длина окружности вычисляется по формуле 2*пи*радиус окружности,
радиус земли равен примерно 6 371 000 метр, тобишь один метр радиуса увеличивает длину протяженности на 6,24 метра
у нас ситуация наоборот увеличена длина окружности на метр , этот метр делим на 6,24=примерно 0,16 метра увеличение радиуса, 
значит верёвка будет висеть на 16 сантиметров , не пролезет только очень жирный кот

Плоскость МКО, параллельная плоскости ∆ АВС, пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания  АВС и отсекает от исходной пирамиды подобную ей пирамиду RMKO. 

Площади подобных фигур относятся как квадрат отношения их линейных размеров.

k=RK:RВ=1/2 ⇒ k²=1/4

 Площадь боковой поверхности пирамиды RABC равна сумме площадей её боковых граней. 

 S ∆ RAB=RA•AB/2

AB=RA•ctg45°=8

        S ∆ RAB=8•8/2=32

S ∆ RAC=RA•AC/2

AC=AB•sin30°=8·1/2=4

        S ∆ RAC=4·8/2= 16

S ∆ RCB=RC·BC/2

BC=AB·cos30•=4√3

RC по т.Пифагора=√(AC²+AR²)=√(16≠64)=4√5

       S ∆ RCB=(4√5)·(4√3)/2=8√15

 S бок RABC=32+16+8√15=8·(6+√15)

S бок RMKO=  S бок RABC:4=2·(6+√15) ед. площади.