В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, АВ = ВС = 5 см. Высота BD треугольника ABC равна 4 см. Найти длину диагонали грани призмы, содержащей основание треугольника, если высота призмы равна 8 см.
С РИСУНКОМ

Примем коэффициент отношения ВР:АР равным а 

Тогда ВР=а, АР=3а, АВ=4а

РТ║АС, АВ - секущая при них. ⇒

углы при основаниях ∆ АВС и ∆ ВРТ равны как соответственные, угол В общий. ⇒

∆ АВС~∆ ВРТ. ВР:АВ=1/4⇒

РТ:АС=1/4⇒ 

АС=4РТ

АРТС - трапеция. в неё вписана окружность. Вписать окружность в трапецию можно тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. ⇒

РТ+АС=АР+ТС=6а. 

АС=6а-РТ

РТ:(6а-РТ)=1/4⇒

4РТ=6а-РТ

5РТ=6а—

РТ=1,2а

АС=4,8а

Опустим высоту РН. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший – их полуразности. 

АН =(АС-РТ):2=(4,8а-1,2а):2=1,8а

Из прямоугольного ∆ АРН по т.Пифагора найдем значение а. 

АР²-АН²=РН²

9а²-3,24а²=81⇒ 

5,76а²=81⇒ 

а=√14,0625=3,75

Р=12а=45 см

Рассмотрим треугольники ВОС и ЕОА. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого:
- <BOC=<EOA как вертикальные углы;
- <BCO=<EAO как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых АЕ и ВС секущей АС.
Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
ВС : АЕ = 21 : 35 = 3 : 5, k = 3/5.
Тогда ВО : ЕО = 3 : 5
ВЕ = 3+5=8 частей,  1 часть = 32 : 8 = 4 см
ВО=3 части*4=12 см, ЕО=5 частей*4=20 см
СО : АО = 3 : 5
АС=3+5=8 частей, 1 часть = 40 : 8 = 5 см
СО=3 части*5=15 см, АО=5 частей*5=25 см