В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной,равной 2 ,из вершины A выходят единичные векторы m по направлению AB и n по направлению AF.Точка L является серединой стороны BC. Выразить векторы BD,DF через векторы m и

Пусть будет окружность с центром в точке О, АВ - хорда. Искомый угол - угол АОВ.
а) По теореме косинусов:

Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.

б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.

в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов

Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.

г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов

Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.

д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора

Значит, АВ=. Тогда по теореме косинусов

а угол АОВ=86 градусов 11 минут.

е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС,  а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.

Окружность вписана в сектор, значит, она касается радиусов и дуги, на которую опирается центральный угол.   
 А - центр большей окружности,  
угол А=60º 
Н -точке касания вписанной в сектор окружности с дугой.  
ВС - касательная к точке H.  
∠АНС=∠ВНС=90º
 Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. 
 АН- биссектриса∠ВАС  
∠ВАН=САН=30º 
 ∆ ВАН= ∆ САН  
∠АВС=∠АСВ=60º 
 ∆ АВС - равносторонний с высотой АН=R=4 см
 Радиус  r вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её     высоты.  
 r =4/3 см  
 Ѕ=πr²=(4/3)² π=16/9π см²