В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На ребрах АВ и SB отмечены точки K и L соответственно, причем AK=SL=7. Плоскость α проходит через точки К, L и С.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины пирамиды S до плоскости α
Для начала рассмотрим задачу а). Нам нужно доказать, что плоскость α перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Плоскость основания пирамиды SABCD образована треугольником ABC. Обозначим точку пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды как точку О.
Чтобы доказать, что плоскости α и SABCD перпендикулярны, мы можем доказать, что прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости SABCD, также перпендикулярна плоскости α.
Для этого мы можем рассмотреть ортогональные проекции векторов в этих плоскостях. Если они окажутся равными нулю, то это будет означать, что прямая, проходящая через точку О, перпендикулярна плоскости SABCD и, следовательно, плоскости α.
Мы знаем, что векторы AB и AS являются боковыми ребрами пирамиды и соответственно перпендикулярны плоскости основания. Таким образом, их ортогональные проекции на плоскость SABCD будут равными нулю.
Теперь рассмотрим проекции векторов AK и SL на плоскость SABCD. Нам известно, что AK=SL=7. Поскольку плоскость α проходит через точки K, L и C, векторы AK и SL будут лежать внутри плоскости α и иметь ортогональные проекции на плоскость SABCD.
Таким образом, наша прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости SABCD, будет являться прямой, проходящей через точки C, K и L. Так как эти точки лежат в плоскости α, мы можем заключить, что плоскости α и SABCD перпендикулярны.
Перейдем теперь к задаче б) и найдем расстояние от вершины пирамиды S до плоскости α.
Зная, что плоскость α перпендикулярна плоскости SABCD, мы можем сказать, что прямая, проведенная из вершины S пирамиды в точку О, перпендикулярна плоскости α и, следовательно, будет являться высотой пирамиды.
Так как мы знаем, что боковое ребро SA равно 17, а сторона основания пирамиды равна 12, мы можем использовать треугольник SAB для нахождения расстояния от вершины S до плоскости α.
Применим теорему Пифагора для треугольника SAB: SB^2 = SA^2 - AB^2.
Зная, что SB^2 = 17^2 = 289 и AB^2 = (1/2 * 12)^2 = 36, мы можем подставить эти значения в формулу и вычислить SB^2.
289 = SA^2 - 36
SA^2 = 289 + 36
SA^2 = 325
SA = √325
Теперь мы можем использовать найденное значение SA и ортогональную проекцию объемлющей прямой на плоскость основания пирамиды (это сторона основания с точки зрения треугольника SAB), чтобы вычислить расстояние от вершины S до плоскости α.
Расстояние от вершины S до плоскости α равно √325/2.
Организовано, легко и понятно!