в правильную треугольную пирамиду вписан шар. найдите радиус этого шара, если сторона основания пирамиды равна 6см, а апофема наклонена к плоскости основания под углом 60°
Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрические свойства правильной треугольной пирамиды и свойства вписанного шара.
Дано, что сторона основания пирамиды равна 6 см. По определению правильной треугольной пирамиды, все ее боковые грани равносторонние треугольники. Значит, высота боковой грани (апофема) равна стороне треугольника умноженной на √3/2 (так как высота делит основание на две равные части и образует прямой угол с основанием). Таким образом, апофема равна (6 * √3/2) = 3√3 см.
Также, дано, что апофема наклонена к плоскости основания под углом 60°. Угол между апофемой и стороной основания треугольника равен 60°.
Для того чтобы найти радиус шара, нам будет полезно использовать свойство вписанного шара, которое гласит, что прямая, соединяющая центр шара и середины любых двух поверхностных ребер (например, ребра основания пирамиды), образует прямой угол с этими ребрами. Из этого свойства следует, что поперечник шара (или радиус удвоенный) будет равен ребру пирамиды (стороне основания).
Допустим, ребро пирамиды равно a, а радиус шара равен r.
Так как мы знаем, что поперечник шара равен стороне основания, то мы можем записать следующее:
Дано, что сторона основания пирамиды равна 6 см. По определению правильной треугольной пирамиды, все ее боковые грани равносторонние треугольники. Значит, высота боковой грани (апофема) равна стороне треугольника умноженной на √3/2 (так как высота делит основание на две равные части и образует прямой угол с основанием). Таким образом, апофема равна (6 * √3/2) = 3√3 см.
Также, дано, что апофема наклонена к плоскости основания под углом 60°. Угол между апофемой и стороной основания треугольника равен 60°.
Для того чтобы найти радиус шара, нам будет полезно использовать свойство вписанного шара, которое гласит, что прямая, соединяющая центр шара и середины любых двух поверхностных ребер (например, ребра основания пирамиды), образует прямой угол с этими ребрами. Из этого свойства следует, что поперечник шара (или радиус удвоенный) будет равен ребру пирамиды (стороне основания).
Допустим, ребро пирамиды равно a, а радиус шара равен r.
Так как мы знаем, что поперечник шара равен стороне основания, то мы можем записать следующее:
2r = 6.
Отсюда получаем, что r = 6/2 = 3.
Таким образом, радиус шара составляет 3 см.