В прямом параллелепипеде стороны основания 3см и 4 см образуют угол 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45º. Найдите боковую поверхность параллелепипеда и объем. 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3√3, а ее боковое ребро 3√5. Найдите:
а) боковую поверхность пирамиды;
б) двугранный угол при основании пирамиды.
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 4 см, и углом 60º. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 º. Найдите боковую поверхность параллелепипеда и объем.
4. Основание пирамиды МАВСД служит квадрат АВСД. МД высота пирамиды. МД= ДС, МС= 2√2. Найдите площадь грани МАВ.
5. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2см, а ее боковое ребро равно 2√5 см. Найдите:
а) боковую поверхность пирамиды;
б) двугранный угол при основании пирамиды.
6. Образующая конуса равна 6 сми образует с основанием угол 45º. Найдите:
а) объем конуса;
б) площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми 60º
7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро с основанием образует угол 45º. Найдите объем пирамиды.
8. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с углом 60º и большей диагональю 2m. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с основанием угол α. Найдите объем параллелепипеда
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная (АВ=СД).
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (АД+ВС=АВ+СД). Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности (ВН=2*6=12)
Средняя линия трапеции МК параллельна основаниям и равна их полусумме (МК=(АД+ВС)/2 или АД+ВС=2МК=2*13=26).
Тогда боковые стороны равны АВ+СД=26, значит АВ=СД=26/2=13.
Из прямоугольного ΔАВН найдем АН=√(АВ²-ВН²)=√(13²-12²)=√25=5.
В равнобедренной трапеции АД=ВС+2АН=ВС+10.
Подставим это в АД+ВС=26, получаем
ВС+10+ВС=26
ВС=16/2=8
АД=8+10=18
ответ: стороны 13, 8, 13, 18.
Пусть вписанная в ABC окружность касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Противоположные стороны я обозначу одноименными маленькими буквами, то есть BC = a; AB = b; AB = c;
Кроме того, я обозначу AB1 = AC1 = x; BC1 = BA1 = y; CA1 = CB1 = z;
Тогда
x + y = c;
y + z = a;
x + z = b;
x - y = b - a;
2*x = c + b - a;
то есть AC1 = AB1 = (AB + AC - BC)/2; что и требовалось доказать.
Курсив можно не читать.
Выражение x = (c + b - a)/2; можно переписать в такой форме.
Пусть p = (a + b + c)/2; p - ПОЛУпериметр.
тогда x = p - a; и, аналогично, y = p - b; z = p - c;
формула Герона записывается, как S^2 = p*x*y*z;