ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ. § 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол. Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164). Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С. Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике. Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А. Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A. Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ. В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы. Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны. Пусть в /\ AВС / A = / С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный. Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ > ВС; 2) АВ < ВС; 3) АВ = ВС. Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС. Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A. Следовательно, возможен только третий случай, т. е. АВ = ВС Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны. Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Пусть в треугольнике АВС (черт. 167) / C >/ B Докажем, что АВ > АС. Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ = АС; 2) АВ < АС; 3) АВ > АС. Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то / С был бы равен / В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию. Следовательно, возможен только один случай, а именно: АВ > АС. Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона. Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.
1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²
1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²