В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе Ав выбрали точки D и Е, так что ЕВ = СВ и DA = CA, а на катетах ВС и АС точки Q и P соответственно так, что АР = АЕ и ВQ = ВD. Докажите, что середина отрезка P Q является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС.

Данные треугольники могут быть и подобными, и не подобными.
Во втором равнобедренном треугольнике сумма углов при основании равна 78*2=156. Значит, третий угол равен 180-156=24 градуса.
В условии дано, что угол при вершине в первом равнобедренном треугольнике равен 24 градусам, а во втором у нас имеется точно такой же угол.
Тогда в первом треугольнике оставшиеся углы будут равны по 78 градусов каждый. НО данное решение применимо, только если угол при вершине в первом треугольнике не является углом при основании.
Если данное условие не выполняется, то треугольники не подобны(Скорей всего, первый вариант более применим в сравнении со вторым).

Если подойти к вопросу кошерным образом, то можно сначала найти площадь треугольника CDF, и она внезапно окажется 96. (я посчитал на абаке с формулы Герона, а вообще много, выбирай любой).
И тут мы заметим, что площадь S=24 ровно в 4 раза меньше, чем площадь CDF. Если S - площадь NQT (у тебя не сказано, я типа догадываюсь), то соответственно длины всех сторон будут в корень(4) = 2 раза меньше, чем у CDF, а именно: 15, 13 и 4. Выбирай 15 как наибольшую, и получаешь такой ответ. 

Ну, по крайней мере я так думаю, что решил правильно.