В прямоугольном треугольнике с катетами 9 и 12 см из вершины прямого угла провели прямую, перпендикулярную гипотенузе данного треугольника. Найди площади получившихся треугольников, включая данный в условии. В ответе записать площади треугольников через точку с запятой в порядке возрастания в виде натуральных чисел или десятичных дробей

Чертёж и дано во вложении. итак, рассмотрим треугольник АВС. по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника угол ВАС равен 90°-30°=60°. тогда угол DCA равен 90°-60°=30° по той же теореме, а угол DCB равен 90°-30°=60°(вычитаем известную часть из прямого угла С). у нас есть два угла по 30°, и мы знаем, что катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. отсюда АС=0,5АВ и АD=0,5AC. объединив эти выражения, можем сделать вывод, что АD=0,5(0,5AB)=0,25AB. 0,25=1/4, значит, на весь отрезок АВ из 4 часей приходится только 1 часть АD. но ведь АВ состоит ещё и из DB, который, соответственно, составляет 4-1=3 части от АВ. то есть, АВ:ВD=4:3, что и требовалось доказать.

На картинке прямоугольный треугольник, образованный апофемой как гипотенузой, высотой как вертикальным катетом и радиусом вписанной окружности основания как горизонтальным катетом
Половина высоты равна 3*2 = 6 см как гипотенуза малого треугольника с катетом против угла в 30 градусов, равным 3.
Значит, вся высота равна 12 см
По Пифагору
f² = r² + h²
(2r)² = r² + 12²
r² = 144/3 = 48
r = 4√3 см
f = 2r = 8√3 см
Основание
высота 
h₁ = 3r (т.к. медианы делятся точкой пересечения как 1 к 2)
По Пифагору для половинки основания
a² = (a/2)² + (3r)²
3/4*a² = 9r²
a² = 12r²
a = 2√3*r
S₁ = 1/2*a*r = 1/2*2√3*r*r = r²√3 = (4√3)²√3 = 48√3 см²
Площадь одной боковой стороны
S₂ = 1/2*a*f = 1/2*2√3*4√3*8√3 = 32*3√3 = 96√3 см²
И полная площадь
S = S₁ + 3S₂ = (48 + 96*3)√3 = 336√3 см²