В прямой четырехугольной пирамиде основанием является ромб с диагоналями 12см. и 8см. Высота пирамиды 9см. Найти объем.

Ширина картинки с окантовкой: 2х + 12
Длина картинки с окантовкой: 2х + 17 , где х - ширина окантовки.

Тогда: (2х + 12)(2х + 17) = 414
             4х² + 24х + 34х + 204 = 414
             4х² + 58х - 210 = 0
             2х² + 29х - 105 = 0           D = b²-4ac = 841 + 840 = 1681 = 41²

              x₁ = (-b+√D)/2a = (-29+41)/4 = 3 (см)

              x₂ = (-b-√D)/2a = (-29-41)/4 = -17,5  - не удовлетворяет условию. 

Таким образом, длина картинки с окантовкой: a = 2*3+12 = 18 (см)
                           ширина картинки с окантовкой: b = 2*3+17 = 23 (см)
Общая площадь: S = ab = 18*23 = 414 (см)

ответ: ширина окантовки 3 см.

Пусть данная пирамида МАВС, МО - высота,  точка О - центр треугольника; угол ОМА=45°

МО⊥плоскости основания, ∆ МОА - прямоугольный. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ⇒∠МАО=45°, 

∆ АОМ - равнобедренный. АО=МО=12  см.

О - точка пересечения медиан ∆ АВС, и по свойству медианы АО:НО=2:1. Тогда высота основания АН=12:2•3=18 см

АС=АН:sin 60°=18:√3/2=36:√3•2=12√3

              V=S•h:3

Формула площади правильного треугольника

36•3•√3 см² 

V=36•3•√3•12:3=432√3 см³

                     * * * 

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Пусть основание вписанной призмы – ∆ АВС, АВ - гипотенуза, АС =m, угол АВС=f.

.Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы, а радиус равен её половине. 

⇒ радиус основания цилиндра равен половине АВ. 

АВ=m:sin f

R=0,5m:sin f

V=πr²•h