В равнобедренном треугольнике к боковой стороне проведена высота и биссектриса угла, прилежащего к основанию.
Определи угол между высотой и биссектрисой, если угол вершины ∡ B = 12°.

В треугольнике АВС,угол А=90 градусов, ВС-гипотенуза, точка касания окружности с гипотенузой Е, СЕ=6,ЕВ=4, тогда ВС=6+4=10. Точка касания с АС будет К, а со стороной АВ-точка М. Так как отрезки касательные к окружности, проведенные из одной точки равны, то СК=СЕ=6, ВЕ=ВМ=4. О-центр окружности. ОК=ОМ=х-это радиус вписан.окружности. Так как ОК перпендик.АС, ОМ перпенд.ВА, а угол А прямой, то АМОК квадрат и ОК=ОМ=АК=АМ=х.

Тогда сторона АВ=х+4, а сторона АС=х+6. По теореме Пифагора

(х+4)^2+(х+6)^2=10^2

х^2+8x+16+x^2+12x+36=100

2x^2+20x+52-100=0

2x^2+20x-48=0 сократим на 2

х^2+10x-24=0

Дискриминант Д=100+4*24=196, корень из Д=14

Х1=(-10+14)/2=4/2=2

Х2=(-10-14)/2=-24/2=-12 не может хбыть отрцат значением, значит

х=2

Радиус вписанной окружности равен 2см

Так как периметр ромба равен 16, то сторна ромба равна 16/4=4

Ромб АВСД, пусть угол при В = Х градусов, а при А =2Хградусов (по условию.)Диагонал АС=? Проведем и диагональ ВД. В ромбе диагонали пересекаясь(точка пересечения О), образуют угол в 90 градусов, также диагонали являются биссектрисами.Значит треугольник АОВ прямой.Угол ВАО=2х/2=х, а угол АВС=х/2.

В треугольнике сумма углов равна 180, значит

х+х/2=90

3х/2=90

3х=180

х=180/3

х=60

Угол ВАС=60, тогда угол АВО=60/2=30

В прямоугольном треугольгике, катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузе, так АВ=4, АО=2, а длина АО=ОС=2 (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам), значит АС=4.

Можно решить еще и так

угол ВАС=углу ВСА=х, также угол В=х, значит треугольник АВС равносторонний и АС=АВ=4

Меншая диагональ ромба равна 4 см.