В равностороннем остром треугольнике ABC основание AC = 24, а расстояние от вершины B до точки пересечения высот M 7. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.

Точка М - центр описанной окружности.

Точка О - центр вписанной окружности.

Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.

Радиус вписанной окружности равен по формуле:

r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.

Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.

PB=HB=2см (касательные из одной точки).

Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:

ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .

ответ: расстояние между центрами окружностей равно

√1,25 ≈ 1,12 см.

Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:

d² = R² - 2·R·r.

В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.

тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.

1) все углы по 60° так как треугольник равносторонний

2)(180°-70°):2=55°-угол С и угол F ( так как треугольник равнобедренный)

3)90°-30°=60°- угол К(так как треугольник прямоугольный)

4)180°-(20°+30°)=130°- угол N

5)90°-60°=30° - угол Р(так как треугольник прямоугольный)

6)угол С-40°; угол АВС 100°; угол АВЕ 80°

7)угол В 75°

8)угол РМО 40°; угол Р 75°

9) угол PAL 60°; угол L 60°; угол Р 60°

10угол KFC 130°; угол В 65°; угол С 65°

11) угол ОВС 40°; угол К 50°; угол КВО 80°

12) угол АРС 55°; угол С 55°

13) угол В 50°; BCL 100°

14) -

15) угол MON 75°; угол КО~ 75°; угол ~ 60°; угол К 45°