В треугольник ABC вписана окружность радиуса r, касающаяся стороны AC в точке D, причем AD=r.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника AMNC, если известно, что r=1 и CD=3.
Отрезок надо разделить в отношении 5 : 4, т.е. всего 9 равных частей.
Начертим луч с началом в точке А под произвольным углом к отрезку.
На луче отложим последовательно 9 равных отрезков (длина одного отрезка произвольная).
Последняя из отмеченных точек - С.
Соединим точку С с другим концом данного отрезка - В.
Через концы отложенных равных отрезков проведем прямые, параллельные прямой ВС.
По теореме Фалеса эти прямые отсекут на отрезке АВ 9 равных отрезков.
Отсчитаем 5 из них и отметим точку К.
АК : КВ = 5 : 4.
d(М, АВ) = d(M, BC) = 4 дм
d(M, AD) = d(M, СD) = 2√5 дм
d(M, BD) = 4 дм
d(M, AC) = 3√2 дм
Объяснение:
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
МВ - перпендикуляр к плоскости квадрата, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
МВ⊥АВ, значит расстояние от точки М до прямой АВ
d(М, АВ) = МВ = 4 дм
МВ⊥ВС, значит
d(M, BC) = MB = 4 дм
МВ⊥BD, значит
d(M, BD) = MB = 4 дм
BA⊥AD как стороны квадрата,
ВА - проекция МА на плоскость, значит МА⊥AD по теореме о трех перпендикулярах, тогда
d(M, AD) = MA
Аналогично, ВС⊥CD как стороны квадрата, ВС - проекция МС на плоскость, значит МС⊥CD по теореме о трех перпендикулярах, тогда
d(M, СD) = MС
Если равны проекции наклонных, проведенных из одной точки, то равны и сами наклонные:
ВС = ВА (стороны квадрата), значит МС = МА.
Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора:
МА = √(АВ² + ВМ²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5 дм
Итак,
d(M, AD) = d(M, СD) = 2√5 дм
Осталось найти расстояние от М до диагонали АС.
ВО⊥АС по свойству диагоналей квадрата,
ВО - проекция МО на плоскость квадрата, значит
МО⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
d(M, AC) = MO
BD = AB√2 =2√2 дм как диагональ квадрата,
BО = BD/2 = √2 дм (диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам)
Из прямоугольного треугольника МВО по теореме Пифагора:
МО = √(ВО² + ВМ²) = √(2 + 16) = √18 = 3√2 дм
d(M, AC) = 3√2 дм