В треугольниках ABC и ADC стороны BC и AD равны и пересекаются в точке O, угол OAC= угол OCA. Докажите, что треугольники ABO и CDO равны.

В трапеции треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновелики. т.е. 

S ∆ АЕД=S∆ ВЕС. 

Тогда S ∆ ВЕС равна полуразности между площадью трапеции и суммой площадей ∆ АВЕ и ∆ ДЕС. 

∆ АВЕ~∆ ДЕС по равным вертикальным и накрестлежащим углам

k=24/30=4/5

Тогда 

высота h трапеции состоит из высот  этих треугольников  h1 и h2;  h1:h2=4/5 ⇒ h=9  частей этого отношения. 

точкой Е высота трапеции делится на 

 h1=h*4/9

h2=h*5/9

S ∆  АВЕ=0,5*24*4h/9=12*4h/9

S ∆ ДЕС=0,5*30*5h/9=15*5h/9

Площадь трапеции

S АВСД=(24+30)*h/2=27h

Сумма площадей треугольников при основаниях

S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС=12*4h/9+15*5h/9=41h/3

Сумма площадей треугольников при боковых сторонах

S АВСД – (S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС)=27h – 41h/3=40h/3

Площадь ∆ ВСЕ равна половине полученного значения (см. выше):

S ∆ BCE=(40h/3):2=20h/3

Найдем h   из ∆ АДН.

h=AH=AД*sin 60º

h=(3*√3):2=1,5√3

S ∆ BCE=20*1,5√3/3=10√3

Рассмотрим рисунок, данный в приложении.
MKPL - квадрат. 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90º
Угол КЕМ =90º-35º=55º
Рассмотрим треугольник КМЕ. КМ=КР=РL=LM=4 ( все стороны квадрата равны).
КЕ=KM*tg 35º
KЕ=4*0,7002
KЕ= 2,8008 
МР - диагональ квадрата.  
МР=МК*sin 45=4:(√2):2=4√2 
Угол QEP=КЕМ=55º как вертикальный 
Угол KEQ=180º-55º=125º 
Угол ЕQP=180º-(80º+55º)=45º 
 .........По т.синусов 
MP:sin45º=4√2:(√2)/2=8 
MQ:sin 125º=8 
MQ=8*sin125º=8*0,81915=6,5532 
EQ=MQ-ME 
ME=√(MK²+KE²)=√(16+7,8445)=4,883 
EQ=6,6632-4,883=1,67 
.........По т.косинусов 
KQ²=ME²+EQ²-2*ME*EQ*(cos 125º) 
KQ²=7,8445+2,7889 -9,3545*(-0,5736) 
KQ²=15,9989 
KQ=3,9998