В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 18 см, MN = 12 см, KN = 15 см. Найдите углы треугольника MNK, если А=80, В=60.

Проведем в треугольнике ABC высоты(также они будут являться медианами и биссектрисами, поскольку ΔАВС - правильный) AH. BK, точку пересечения высот назовем О.

Тогда AO=ОК=R - радиусы описанной окружности

OH =OK = R1 - радиусы вписанной окружности

ΔAOK - прямоугольный(угол К=90), т.к AH также является биссектрисой, то угол OAK = 30 градусов ==> R = 2R1

По условию задачи  R-R1 = t ==> R1=t, R=2t

По теореме пифагора найдем AK

AK^2 = R^2 - R1^2 = 4t^2 - t^2      ==>   AK = t*корень из трех,

AC=2*AK = 2t*корень из 3

Может. есть теорема о том, что биссектрисы парал-мма пересекаются под прямым углом. Если нет, то можно это доказать: Х - половина угла А, У - половина угла D. Тогда у всего паралл-мма сумма углов А+В+С+D=360, т.е. 2(2Х+2У)=360. Значит, Х+У=90.

Из треуг-ка АКD К=180-Х-У=90.

Теперь вычисляем КD : корень из 100-36, то есть 8 см.

Если не проходили arcsin, то  не знаю, как решать дальше. 

Из АКD Х=arcsin0.8, а У=arcsin0.6. Тогда в АВСD углы A и С равны 2arcsin0.8, а В и D = 2arcsin0.6. 

Теперь осталось найти высоту, опущенную из точки К. Из любого треуг-ка, на которые разбился ей АКD: либо  КDsinY=8х0,6=4.8см, либо АКsinX=6х0,8=4,8см.

И площадь паралл-мма 10х4,8=48 кв.см