В треугольнике АВС ∠С = 30°, АС = 10см., ВС = 8см. Через вершину А проведена прямая a, параллельная ВС. Найдите: а) расстояние от точки В до прямой АС; б) расстояние между прямыми а и ВС.
В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота АК делит сторону ВС пополам. ВС=ВК+КС ВК=КС=3:2=1,5 - катет АС=3 - гипотенуза Находим катет АК (теор.Пифагора): АК2=АС2 - КС2 АК2=3*3 - 1,5*1,5 АК=корень из 6,75 АК=2,598 Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1 АО+ОК=3(части) - составляют 2,598 АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732 Рассмотрим треуг.АОМ ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС Находим АМ(теор.Пифагора): АМ2=АО2+ОМ2 Ом=1;АО=1,732; АМ2=1*1+1,732*1,732 АМ=корень из 4 АМ=2 Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому
По обратной теореме Фалеса: Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
Подробно:
Прямые А1В1, А2В2, А3В3 пересекают две другие прямые ОА и ОВ и образуют с ними треугольники с вершиной О. Эти треугольники подобны по общему углу О и пропорциональным сторонам. Поэтому соответственные углы А1, А2, А3 при пересечении прямых А1В1, А2В2, А3В3 секущей ОА и соответственные углы В1, В2, В3 при пересечении тех же прямых секущей ОВ равны.
Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей равны, то такие прямые параллельны.
Согласно этому признаку параллельности прямых А1В1 параллельна А2В2 и параллельна А3В3. Аналогично А2В2 параллельна А3В3, что и требовалось доказать.
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 - катет
АС=3 - гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 - КС2
АК2=3*3 - 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) - составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому
По обратной теореме Фалеса: Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
Подробно:
Прямые А1В1, А2В2, А3В3 пересекают две другие прямые ОА и ОВ и образуют с ними треугольники с вершиной О. Эти треугольники подобны по общему углу О и пропорциональным сторонам. Поэтому соответственные углы А1, А2, А3 при пересечении прямых А1В1, А2В2, А3В3 секущей ОА и соответственные углы В1, В2, В3 при пересечении тех же прямых секущей ОВ равны.
Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей равны, то такие прямые параллельны.
Согласно этому признаку параллельности прямых А1В1 параллельна А2В2 и параллельна А3В3. Аналогично А2В2 параллельна А3В3, что и требовалось доказать.