В треугольнике MNK известно, что MN = 12, KM = 17, NK = 19. Запишите углы треугольника MNK в порядке возрастания их величин. В таблицу ответов
запишите последовательность букв без пробелов и других знаков.
2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 11, ВС = 8. Какую наибольшую
целую длину может иметь сторона АС? Выберите вариант ответа.
1) 19 2) 18 3) 17 4) 11
В таблицу ответов запишите номер выбранного варианта ответа.
3. В треугольнике АВС известно, что AB < BC < AC, а один из углов в 2 раза
меньше другого и в 3 раза меньше третьего. Найдите угол при вершине А.
Выберите вариант ответа.
1) 60° 2) 30° 3) 90° 4) 45°
В таблицу ответов запишите номер выбранного варианта ответа.
4. В прямоугольном треугольнике EFK с прямым углом F известно, что
∠Е = 30°, КM – биссектриса угла К. Найдите длину катета FE, если КМ = 18.
В таблицу ответов запишите полученное число.
5. Какие из утверждений являются верными?
1) Основание равнобедренного треугольника всегда больше его боковой
стороны.
2) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.
3) Если острые углы одного прямоугольного треугольника равны острым
углам другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные
треугольники равны.
4) Высота неравнобедренного треугольника меньше медианы этого
треугольника, проведённой из той же вершины.
5) В прямоугольном треугольнике с острым углом в 30° гипотенуза в два
раза больше одного из катетов.
В таблицу ответов запишите последовательность цифр в порядке возрастания без пробелов и других знаков.
Закон косинусов гласит:
для треугольника ABC со сторонами a, b, c и углом C противоположным стороне c
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
Применяя формулу к треугольнику MNK:
MN^2 = KN^2 + MK^2 - 2*KN*MK*cos(MKN)
12^2 = 19^2 + 17^2 - 2*19*17*cos(MKN)
144 = 361 + 289 - 646*cos(MKN)
144 = 650 - 646*cos(MKN)
646*cos(MKN) = 650 - 144
646*cos(MKN) = 506
cos(MKN) = 506/646
cos(MKN) ≈ 0.783
Угол МKN равен arccos(0.783) ≈ 39.827°
Угол МNK:
Используем закон синусов:
sin(MNK) / NK = sin(MKN) / MN
sin(MNK) = NK * sin(MKN) / MN
sin(MNK) = 19 * sin(39.827) / 12
sin(MNK) ≈ 0.514
Угол МNK равен arcsin(0.514) ≈ 30.878°
Угол NKM:
Угол NKM составляет 180° - МKN - MNK = 180° - 39.827° - 30.878°
Угол NKM ≈ 109.295°
Таким образом, углы треугольника MNK в порядке возрастания их величин: МNK, MNK, NKM. Запишем их в таблицу ответов: 309.
2) В треугольнике АВС известны длины сторон: АВ = 11, ВС = 8. Какую наибольшую целую длину может иметь сторона АС?
В треугольнике АВС сумма длин двух сторон всегда должна быть больше, чем длина третьей стороны. Для нахождения наибольшей длины стороны АС, сравним сумму длин сторон АВ и ВС с длиной стороны АС.
АВ + ВС = 11 + 8 = 19
Строна АС должна быть больше 19, чтобы удовлетворять неравенству треугольника.
Наибольшая целая длина стороны АС - 19. Запишем ответ в таблицу: 1.
3) В треугольнике АВС известно, что угол В равен в 2 раза меньше угла С, и в 3 раза меньше угла А. Найдем угол при вершине А.
Пусть угол В равен x градусов. Тогда угол С будет равен 2x, а угол А будет равен 3x.
Сумма углов треугольника равна 180°:
А + В + С = 3x + x + 2x = 6x
6x = 180
x = 180 / 6
x = 30
Угол А будет равен 3 * 30 = 90°
Запишем ответ в таблицу: 3.
4) В прямоугольном треугольнике EFK с прямым углом F известно, что угол Е = 30° и КM – биссектриса угла К. Найдем длину катета EK, если КМ = 18.
В прямоугольном треугольнике ЕKF угол Е равен 30°, а угол Ф равен 90°. Применим тригонометрические соотношения для нахождения длины стороны ЕК.
В прямоугольном треугольнике:
sin(К) = КМ / ЕК
sin(30) = 18 / ЕК
1/2 = 18 / ЕК
ЕК = 2 * 18
ЕК = 36
Запишем полученное число в таблицу ответов: 36.
5) Какие из утверждений являются верными?
1) Основание равнобедренного треугольника всегда больше его боковой стороны. - Верно. Запишем цифру 1.
2) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов. - Верно. Запишем цифру 2.
3) Если острые углы одного прямоугольного треугольника равны острым углам другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники равны. - Неверно. Запишем цифру 3.
4) Высота неравнобедренного треугольника меньше медианы этого треугольника, проведенной из той же вершины. - Верно. Запишем цифру 4.
5) В прямоугольном треугольнике с острым углом в 30° гипотенуза в два раза больше одного из катетов. - Верно. Запишем цифру 5.
Последовательность цифр в порядке возрастания: 12345. Запишем эти цифры в таблицу ответов: 12345.