Все ребра треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна 8+16√ 3
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Пусть ребро призмы равно а. Грани - квадраты, их 3. S бок=3а² S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2 По условию 3а²+(а²√3):2=8+16√3 Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3) а²=16(1+2√3):(6+√3) Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника: S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4 S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.
Пусть OO₁ = x (см. чертеж)
Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:
O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)
SO₁ = 1 + x - высота конуса
Объем конуса вычисляется по формуле:
V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота
В нашем случае:
V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)
Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1
f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!
Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:
V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
Пусть ребро призмы равно а.
Грани - квадраты, их 3.
S бок=3а²
S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2
По условию
3а²+(а²√3):2=8+16√3
Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3)
а²=16(1+2√3):(6+√3)
Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника:
S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4
S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.