Объяснение решения задач на площадь трапеции, в которой известны основания и диагонали, обычно сводится к проведению прямой из вершины при одном основании параллельно диагонали до пересечения с продолжением другого основания и затем вычислением площади получившегося треугольника. .
Подробное решение.
Пусть в трапеции АВСD BC||АD, AD=AC=3, ВС=2, BD=4.
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. S(ABCD)=h•(BC+AD):2
Проведем СК||ВD. Тогда ВС||DC, CK|| BD => BCKD - параллелограмм, и DK=BC=2 =>
AK=AD+DK=3+2=5.
Ѕ(∆ АСК)=h•AK:2=S(ABCD)
Вычислив площадь треугольника АСК по т.Герона получим S(ABCD)=S(ACK)=6.
Но конкретно для этой задачи с отношением сторон треугольника АС:СК:АК=3:4:5 проще вычислить площадь треугольника АСК как произведение диагоналей трапеции – этот треугольник прямоугольный ( египетский).
Пусть в треугольнике АВС АВ=60, АС=40, биссектриса АД =24 Применив свойство: биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, получим: ВД:ДС=60:40=3:2 Примем коэффициент этого отношения равным х. Тогда ВД:ДС=3х:2х Воспользуемся другим свойством биссектрисы: квадрат биссектрисы угла треугольника равен произведению сторон,образующих угол минус произведение отрезков, на которые она делит сторону, противолежащую этому углу. Составим уравнение: АД²=АВ*АС-ВД*ДС 576=2400-3х*2х 6х²=1824 х²=304=16*19 х=4√19 ⇒ ВД=(4√19)*3=12√19 ДС=2*4√19=8√19 ВС=20√19 По формуле Герона S=√[р(р-а)(р-b)(р-с), где р - полупериметр треугольника. р=Р:2=(60+40+20√19):2=(50+10√19) S=√[(50+10√19)(10√19-10)(10√19+10)(50-10√19)] S=√[(50+10√19)(50-10√19)(10√19-10)(10√19+10)] Применив формулу сокращенного умножения, получим: S=√[(2500-1900)(1900-100)]=√(1080000)=100√108=600√3 (единиц площади)
ответ: 6 (ед. площади)
Объяснение решения задач на площадь трапеции, в которой известны основания и диагонали, обычно сводится к проведению прямой из вершины при одном основании параллельно диагонали до пересечения с продолжением другого основания и затем вычислением площади получившегося треугольника. .
Подробное решение.
Пусть в трапеции АВСD BC||АD, AD=AC=3, ВС=2, BD=4.
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. S(ABCD)=h•(BC+AD):2
Проведем СК||ВD. Тогда ВС||DC, CK|| BD => BCKD - параллелограмм, и DK=BC=2 =>
AK=AD+DK=3+2=5.
Ѕ(∆ АСК)=h•AK:2=S(ABCD)
Вычислив площадь треугольника АСК по т.Герона получим S(ABCD)=S(ACK)=6.
Но конкретно для этой задачи с отношением сторон треугольника АС:СК:АК=3:4:5 проще вычислить площадь треугольника АСК как произведение диагоналей трапеции – этот треугольник прямоугольный ( египетский).
S(ABCD)=S(ACK)= АС•СК:2=3•4:2=6 (ед. площади).
АВ=60, АС=40, биссектриса АД =24
Применив свойство: биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, получим: ВД:ДС=60:40=3:2
Примем коэффициент этого отношения равным х.
Тогда ВД:ДС=3х:2х
Воспользуемся другим свойством биссектрисы:
квадрат биссектрисы угла треугольника равен произведению сторон,образующих угол минус произведение отрезков, на которые она делит сторону, противолежащую этому углу.
Составим уравнение:
АД²=АВ*АС-ВД*ДС
576=2400-3х*2х
6х²=1824
х²=304=16*19
х=4√19 ⇒
ВД=(4√19)*3=12√19
ДС=2*4√19=8√19
ВС=20√19
По формуле Герона
S=√[р(р-а)(р-b)(р-с), где р - полупериметр треугольника.
р=Р:2=(60+40+20√19):2=(50+10√19)
S=√[(50+10√19)(10√19-10)(10√19+10)(50-10√19)]
S=√[(50+10√19)(50-10√19)(10√19-10)(10√19+10)]
Применив формулу сокращенного умножения, получим:
S=√[(2500-1900)(1900-100)]=√(1080000)=100√108=600√3 (единиц площади)