Варіант 1
1) Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см, 8 см, 10 см. Знай-
діть радіус кола, вписаного в цей трикутник.
2) Утрикутнику ABC ZA = 60°. Радіус кола, вписаного в трикутник
АВС, дорівнює 2,7 см. Знайдіть відстань від центра кола до вершини
А трикутника ABC.
3) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 28 см. Точкою до-
тику вписаного кола вона ділиться у відношенні 4:3, починаючи від
вершини трикутника. Знайдіть периметр трикутника.
Варiант 2
1) Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 1 см. Знай-
діть периметр трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 4 см.
2) У трикутнику MPK ZP = 60°. Відстань від центра вписаного у трикут-
ник кола до вершини Рдорівнює 9,8 см. Знайдіть радіус цього кола.
3) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторона
ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 5:2, починаючи
від вершини трикутника. Знайдіть сторони трикутника.
Треугольник прямоугольный. Пусть в нём будут катеты а, b, гипотенуза с. По условию а = 13.
Применим теорему Пифагора:
с² = а² + b²
с² – b² = 13²
По формуле разности квадратов:
(с – b)(с + b) = 169
Тогда произведение двух чисел равно 169.
Рассмотрим, как при произведения двух чисел получить 169.
Возможны два случая:
169 = 13 ∙ 13 или 169 = 1 ∙ 169
Тогда множители могут быть равны 13 и 13; 1 и 169; 169 и 1.
Получаются три случая, три системы уравнений с двумя неизвестными, рассмотрим эти системы:
1)
с – b = 13
с + b = 13
Решим методом сложения:
2с = 26
с = 13, тогда b = 0
Данный ответ не подходит, b – длина стороны треугольника, не может равняться 0.
2)
с – b = 1
с + b = 169
Решим методом сложения:
2с = 170
с = 85
Тогда из первого уравнения: с – b = 1 ⇒ b = с – 1 = 85 – 1 = 84
ответ: стороны треугольника а = 13; b = 84; с = 85.
Для данных сторон выполняется неравенство треугольника, поэтому такой треугольник существует.
3)
с – b = 169
с + b = 1
Такое невозможно для треугольника, так как сумма длин двух сторон любого треугольника всегда будет больше разности длин двух сторон треугольника. А в данном случае получается наоборот - сумма длин меньше разности длин.
Сделаем вывод, что ответ только один: а = 13; b = 84; с = 85.
Найдём периметр: Р∆ = а + b + с = 13 + 84 + 85 = 182
Ясно, что высота пирамиды равна диаметру шара H = D;
Объем шара Vs = (4*π/3)*(D/2)^3 = (π/6)*D^3;
Объем усеченной пирамиды равен
V = (H/3)*(S1 + √(S1*S2) + S2) = (D/3)*(m^2 + m*n + n^2);
Vs/V = (π/2)*D^2/(m^2 + m*n + n^2);
то есть надо найти высоту пирамиды H = D.
Сечение, проходящее через точки касания шара с основаниями и противоположными боковыми гранями - это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность диаметра H. Её основания - это "средние линии" квадратов в основаниях, то есть они равны m и n.
По свойству описанных четырехугольников, суммы противоположных сторон равны, то есть боковая сторона этой трапеции равна (m + n)/2;
Если в этой трапеции из вершины меньшего основания опустить высоту, то она отсечет от большего основания отрезок (m - n)/2; (считая от ближайшей вершины, второй отрезок равен (m + n)/2; )
H^2 = ((m + n)/2)^2 - ((m - n)/2)^2 = m*n; осталось подставить.
Vs/V = (π/2)*(m*n)/(m^2 + m*n + n^2); это ответ.
если положить p = m/n; то
Vs/V = (π/2)*p/(p^2 + p + 1);
Подробнее - на -